Задача 73600 Найдите наименьшее значение...

65327fbb3671b32adcaca852

20.10.2023 16:26:03

Найдите наименьшее значение выражения
4y^2−4xy+2x^2−6x+11.
Числа x и y принимают любые действительные значения.

626fab9a354ab65fb2f43abb

20.10.2023 17:48:14

★

4y^2 - 4xy + 2x^2 - 6x + 11.
Я так понимаю, что производные вы ещё не проходили?
Выделяем полные квадраты:
4y^2 - 4xy + 2x^2 - 6x + 11 = (2y)^2 - 2*2y*x + x^2 + x^2 - 6x + 9 + 2 =
= (2y - x)^2 + (x - 3)^2 + 2
Наименьшее значение будет, когда оба квадрата равны 0.
x = 3; y = x/2 = 1,5
(2y - x)^2 + (x - 3)^2 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2

5f282cfba9074b3a3bc0f013

21.10.2023 14:25:14

Для решения задачи воспользуемся методом полного квадрата для каждой группы переменных - сначала для группы, содержащей переменную y, затем для группы, содержащей переменную x.

4y^2−4xy+2x^2−6x+11
= 4(y^2 - xy) + 2x^2−6x+11
= 4[(y - x/2)^2 - (x/2)^2] + 2x^2−6x+11
= 4(y - x/2)^2 - 4*(x/2)^2 + 2x^2−6x+11
= 4(y - x/2)^2 + x^2 - 6x + 11

Теперь сгруппируем оставшуюся часть выражения, относящуюся к переменной x, и снова применим метод полного квадрата.

= 4(y - x/2)^2 + (x^2 - 6x) + 11
= 4(y - x/2)^2 + [x^2 - 6x + (6/2)^2 - (6/2)^2] + 11
= 4(y - x/2)^2 + [(x - 3)^2 - 3^2] + 11
= 4(y - x/2)^2 + (x - 3)^2 - 9 + 11
= 4(y - x/2)^2 + (x - 3)^2 + 2

Оба квадрата в выражении всегда больше или равны нулю (так как квадрат любого числа всегда положительный или равен нулю), поэтому минимальное значение выражения достигается, когда оба эти квадрата равны нулю.

4(y - x/2)^2 = 0 при y = x/2
(x - 3)^2 = 0 при x = 3

Подставим эти значения в выражение:

= 4*0 + 0 + 2
= 2

Таким образом, минимальное значение выражения равно 2.