Задача 73588 Найдите наибольший член разложения...

6532593c3671b32adcaca7c3

20.10.2023 13:43:13

Найдите наибольший член разложения (sqrt(8) + 3)^(12)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.10.2023 14:45:27

★

(√8 + 3)^12=(√8)^(12)+[b]12[/b]*(√8)^(11)*3+[b]66[/b]*(√8)^(10)*3^2+[b]220[/b](√8)^9*3^3+[b]495[/b]*(√8)^8*3^4+

+[b]792[/b]*(√8)^7*3^5 +[b] 924[/b]*(√8)^6*3^6+[b]792[/b]*(√8)^5*3^7 +[b]495[/b]*(√8)^4*3^8+[b]220[/b](√8)^3*3^9+[b]66[/b]*(√8)^(2)*3^(10)+12*(√8)*3^(11)+3^(12)=...


Но это утомительно...

Другой подход:

В разложении (12+1)=13 слагаемых

k-ый член бинома ( k+1)-ое слагаемое имеет вид

T_(k)=C^(k)_(12)*(sqrt(8))^(k)*(3)^(12-k)

Согласно условия задачи T_(k) - наибольший член разложения.

Значит должны выполняться условия:
T_(k) > T_(k-1)
и
T_(k) > T_(k+1)

{C^(k)_(12)*(sqrt(8))^(k)*(3)^(12-k) >C^(k-1)_(12)*(sqrt(8))^(k-1)*(3)^(12-k+1)
{C^(k)_(12)*(sqrt(8))^(k)*(3)^(12-k)>C^(k+1)_(12)*(sqrt(8))^(k+1)*(3)^(12-k-1)

{sqrt(8)/k > 3/(12-k+1) ⇒ k <13sqrt(8)/(3+sqrt(8)) ≈ 6,3
{3/(12-k) > sqrt(8)/(k+1)⇒ k> (12sqrt(8)-3)/(3+sqrt(8)) ≈ 5,2

Находим натуральное k , удовлетворяющее условиям системы:
k=6

О т в е т.

T_(6)=C^(6)_(12)*(sqrt(8))^(6)*(3)^(12-6)=924*512*729=...