Задача 73544 Составить каноническое уравнение прямой,...

652eb87c41d7bb55cd524482

19.10.2023 13:45:07

Составить каноническое уравнение прямой, симметричной прямой (x+3)/4 = (y-1)/1 = (x-2)/-3 относительно плоскости x-y+4x+5=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.10.2023 14:33:06

★

Находим точку пересечения прямой и плоскости

Решаем систему:
{(x+3)/4=(y-1)/1=(z-2)/(-3)
{x-y+4z+5=0

Параметризуем прямую
(x+3)/4=(y-1)/1=(z-2)/(-3)=t

(x+3)/4=t ⇒ x=4t-3
(y-1)/1=t ⇒ y=t+1
(z-2)/(-3)=t ⇒ z=-3t+2

и подставляем в уравнение плоскости
(4t-3)-(t+1)+4(-3t+2)+5=0
t=1

x=4*1-3=1
y=1+1=2
z=-3*1+2=-1

К(1;2;-1) - точка пересечения данной прямой (x+3)/4=(y-1)/1=(z-2)/(-3) с плоскостью x-y+4z+5=0


Этой прямой принадлежит точка М_(о)(-3;1;2)

Находим симметричную ей точку M_(1)

Составляем уравнение перпендикуляра к плоскости x-y+4z+5=0 через точку

Нормальный вектор плоскости vector{n}=(1;-1;4) является направляющим вектором перпендикуляра:

(x+3)/1=(y-1)/-1=(z-2)/4

Находим точку P пересечения этого перпендикуляра(x+3)/1=(y-1)/-1=(z-2)/4 с плоскостью x-y+4z+5=0

Решаем систему
{(x+3)/1=(y-1)/-1=(z-2)/4
{ x-y+4z+5=0
Параметризуем прямую
(x+3)/1=(y-1)/-1=(z-2)/4=t

(x+3)/1=t ⇒ x=t-3
(y-1)/-1=t ⇒ y=-t+1
(z-2)/4=t ⇒ z=4t+2

и подставляем в уравнение плоскости
(t-3)-(-t+1)+4(4t+2)+5=0
t=-1/2

x=4(-1/2)-3=-5
y=-(-1/2)+1=3/2
z=4*(-1/2)+2=0



P(-5;3/2 ;0 )

Эта точка середина отрезка M_(o)M_(1)

Тогда координаты этой точки находим из формул для вычисления координат середины отрезка

x_(P)=x_((M_(o))+x_(M_(1)))/2

x_(P)=x_((M_(o))+x_(M_(1)))/2

x_(P)=x_((M_(o))+x_(M_(1)))/2


M_(1)(2*(-5)-(-3);2*(3/2)-1; 2*0-2)

M_(1)(-7;2;-2)

Составляем уравнение прямой M_(1)K

(x-1)/(-7-1)=(y-2)/(2-2)=(z-(-1))/(-2-(-1))

(x-1)/(-8)=(y-2)/(0)=(z+1)/(-1) - о т в е т