Задача 73471 ...

63fda96d79dee9600a17b848

18.05.2023 12:40:06

lim _(x ⇒ 0)(arcsin2x*ctgπx)

5f282cfba9074b3a3bc0f013

22.10.2023 23:03:54

★

lim _(x ⇒ 0) arcsin2x/ (1/ctgπx)

= lim _(x ⇒ 0) arcsin2x * tgπx.

Теперь найдем производные arcsin2x и tgπx:

(arcsin2x)' = (1/√(1 - (2x)^2)) * 2 = 2/√(1 - 4x^2).
(tgπx)' = π/(cos^2(πx)).

Согласно правилу Лопиталя теперь находим предел отношения производных:

lim _(x ⇒ 0) (2/√(1 - 4x^2)) / (π/(cos^2(πx)))

= lim _(x ⇒ 0) (2cos^2(πx)) / (√(1 - 4x^2) * π).

Теперь можно подставить x=0 и получим:

2*cos^2(0) / (√(1 - 4*0) * π) = 2/π.