Задача 73444 Составить уравнение плоскости,...
Условие
Решение
[m]\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-1}{-1}[/m] задана каноническим уравнением,
из уравнения легко найти координаты направляющего вектора прямой
vector{s_(1)}={1;3;-1}
и координаты точки, принадлежащей этой прямой:
K (1;-2;1)
задана как линия пересечения двух плоскостей, заданных общими уравнениями.
Из общего уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0 легко найти координаты нормального вектора
vector{N}={A;B;C}
Вторая прямая задана как линия пересечения двух плоскостей, заданных общими уравнениями
{x-2y+z-3=0
{x+y-z+2=0
и значит нам известны координаты нормального вектора каждой плоскости
vector{N_(1)}={1;-2;1}
vector{N_(2)}={1;1;-1}
тогда
vector{s_(2)}=[vector{N_(1)},vector{N_(2)}] - направляющий вектор второй прямой
vector{s_(2)}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-2&1\\1&1&-1\end {vmatrix}=2 \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}+2\vec{k}-\vec{i}+\vec{j}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}[/m]
Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости
Тогда векторы:
vector{s_(1)}={1;3;-1}
vector{s_(2)}={ ; ; }
vector{KM}={x-1;y-(-1) ;z-1}= {x-1;y+1 ;z-1}
компланарны. Их смешанное произведение равно 0
[m]\begin {vmatrix} 1&3&-1\\1&2&3\\x-1&y+2&z-1\end {vmatrix}=0[/m]
Раскрываем определитель и получаем уравнение:
2(z-1)+9(x-1)-(y+2)+2(x-1)-3(y+2)-3(z-1)=0
11(x-1)-4(y+2)-(z-1)=0
[b]11x-4y-z-18=0[/b]