Задача 73342 решите уравнение ...
Условие
Решение
[m]3 \cdot 3^{\sqrt{3} - x} - x \cdot 3^{\sqrt{3} - x} = 3 \cdot 3^{x-1} - x \cdot 3^{x-1}[/m]
[m]3^{\sqrt{3} - x}(3 - x) = 3^{x-1}(3 - x)[/m]
[m](3 - x)(3^{\sqrt{3} - x} - 3^{x-1}) = 0[/m]
[b]x1 = 3[/b]
[m]3^{\sqrt{3} - x} = 3^{x-1}[/m]
Степени равны, основания тоже равны, значит и показатели равны.
[m]\sqrt{3} - x = x - 1[/m]
[m]\sqrt{3} + 1 = 2x[/m]
[b]x2 = (sqrt(3) + 1)/2[/b]
2) [m]x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}}[/m]
ОДЗ: x ≤ 6
[m]4^{\sqrt{6-x}}(x^2 - 16)= 0[/m]
[m]4^{\sqrt{6-x}} > 0 [/m] при любом x ≤ 6, поэтому
x^2 - 16 = 0
(x - 4)(x + 4) = 0
[b]x1 = -4 < 6; x2 = 4 < 6[/b]
Оба корня подходят по ОДЗ.
3) 8^(x) + 18^(x) = 2*27^(x)
2^(3x) + 2^(x)*3^(2x) = 2*3^(3x)
2^(3x) + 2^(x)*3^(2x) - 2*3^(3x) = 0
Делим всё уравнение на 3^(3x)
[m]\frac{2^{3x}}{3^{3x}} + \frac{2^x}{3^x} - 2 = 0[/m]
[m](\frac{2^x}{3^x})^3 + \frac{2^x}{3^x} - 2 = 0[/m]
Замена [m]y = \frac{2^x}{3^x} > 0 [/m] при любом x
y^3 + y - 2 = 0
y^3 - y^2 + y^2 - y + 2y - 2 = 0
(y - 1)(y^2 + y + 2) = 0
y^2 + y + 2 = 0
Это уравнение действительных корней не имеет.
[m]y = \frac{2^x}{3^x} = 1[/m]
[b]x = 0[/b]
4) [m]10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99[/m]
[m]10 \cdot 10^{x^2} - \frac{10}{10^{x^2}} = 99[/m]
Замена [m]y = 10^{x^2} > 0[/m] при любом x
10y - 10/y = 99
10y^2 - 99y - 10 = 0
(y - 10)(10y + 1) = 0
y1 = -1/10 < 0 - не подходит
y2 = 10
[m]10^{x^2} = 10[/m]
x^2 = 1
[b]x1 = -1; x2 = 1[/b]