Задача 73340 Напиши уравнение прямой ах + by + с = 0,...

652843ea8794bc569ecad620

12.10.2023 22:08:28

Напиши уравнение прямой ах + by + с = 0, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек А(2; 2) и В(8; 7). Для решения задачи используй формулу расстояния между двумя точками.

626fab9a354ab65fb2f43abb

12.10.2023 22:38:33

★

У нас есть уравнение прямой в общем виде:
ax + by + c = 0
Но оно нам пока не нужно.
И есть две точки: A(2; 2); B(8; 7)
Квадрат расстояния между двумя точками на плоскости:
d^2 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2
Проще работать с квадратами, чем просто с расстояниями.
Пусть у нас есть некая точка на прямой M(x; y)
Находим квадрат расстояния до точки A(2; 2):
d1^2 = (x - 2)^2 + (y - 2)^2
d1^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4
Находим квадрат расстояния до точки B(8; 7):
d2^2 = (x - 8)^2 + (y - 7)^2
d2^2 = x^2 - 16x + 64 + y^2 - 14y + 49
По условию эти расстояния (и квадраты расстояний) равны:
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 16x + 64 + y^2 - 14y + 49
16x - 4x + 14y - 4y = 64 + 49 - 4 - 4
12x + 10y = 105
[b]12x + 10y - 105 = 0[/b]
Это и есть уравнение прямой.
Можно проверить, подставив середину отрезка AB.
Координаты середины отрезка - это средние арифметические координат концов этого отрезка.
C((2+8)/2; (2+7)/2) = (10/2; 9/2) = (5; 4,5)
C(5; 4,5)
12*5 + 10*4,5 - 105 = 60 + 45 - 105 = 0
Всё верно.