Задача 73331 ...
Условие
2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 см и 6 см, а его диагональ-7 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
3. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной 5 см. Через основание этого треугольника проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол 45° и пересекающее боковое ребро. Найдите площадь этого сечения.
4. Основой наклонного параллелепипеда является ромб с острым углом 60°. Боковое ребро, выходящее из вершины этого угла, образует со сторонами также углы по 60°. Найдите высоту параллелепипеда, если его боковое ребро равно √6 см.
5. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с острым углом 30°. Боковое ребро параллелепипеда равно 6 см. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его полной поверхности равна 145 см².
Решение
и 8 боковых граней - прямоугольники.
У нее по 8 ребер в каждом основании и 8 ребер боковых.
Всего 3*8 = 24 ребра.
А вершин 2*8 = 16.
2) Стороны основания прям-ного пар-педа a = 2 и b = 6 см, значит, диагональ основания:
d = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(2^2 + 6^2) = sqrt(4 + 36) = sqrt(40) см
Диагональ всего пар-педа равна D = 7, значит, высота равна:
h = sqrt(D^2 - d^2) = sqrt(7^2 - 40) = sqrt(49 - 40) = sqrt(9) = 3 см
Площадь полной поверхности пар-педа:
S = 2(ab + ah + bh) = 2(2*6 + 2*3 + 6*3) = 2(12 + 6 + 18) = 72 см^2
3) Смотрите рисунок 1.
В основании призмы лежит треугольник с основанием 6 и боковой стороной 5. Он показан слева отдельно.
Прямоугольный треугольник ABD - очевидно, египетский, (3, 4, 5), значит, высота BD = 4 см.
Наклонная KD = BD/cos 45° = 4 / (1/sqrt(2)) = 4sqrt(2) см
Площадь сечения
S(ACK) = AC*DK/2 = 6*4sqrt(2)/2 = 12sqrt(2) см^2
4) Смотрите рисунок 2.
Очевидно, что ВСЕ грани этого пар-педа - ромбы со стороной sqrt(6) и углами 60° и 120°. Одна такая грань показана справа.
Я выяснил. Высоту H можно найти по формуле:
H = A1O = a*sqrt(2/3) = sqrt(6)*sqrt(2/3) = sqrt(2*3)*sqrt(2/3) = sqrt(2*3*2/3) = sqrt(2*2) = 2 см
5) Смотрите рисунок 3.
Ромб с острым углом 30° показан справа. Его сторону обозначим а см.
Диагонали основания d1 и d2 можно найти из теоремы косинусов.
d1^2 = a^2 + a^2 - 2*a*a*cos 30° = 2a^2 - 2a^2*sqrt(3)/2 = a^2(2 - sqrt(3))
d1 = a*sqrt(2 - sqrt(3)) см
d2^2 = a^2 + a^2 - 2*a*a*cos 150° = 2a^2 - 2a^2*(-sqrt(3)/2) = a^2(2 + sqrt(3))
d2 = a*sqrt(2 + sqrt(3)) см
Площадь полной поверхности состоит из 2 оснований и 4 боковых.
S(осн) = 1/2*d1*d2 = 1/2*a*sqrt(2 - sqrt(3))*a*sqrt(2 + sqrt(3)) =
= 1/2*a^2*sqrt((2 - sqrt(3))(2 + sqrt(3))) = 1/2*a^2*sqrt(4-3) = a^2/2 см^2
S(бок) = a*h = 6a см^2
S(полн) = 2*S(осн) + 4*S(бок) = 2*a^2/2 + 4*6a = a^2 + 24a = 145 см^2
Остается решить квадратное уравнение:
a^2 + 24a - 145 = 0
D/4 = 12^2 - 1(-145) = 144 + 145 = 289 = 17^2
a1 = 12 - 17 = -5 - не может быть
a2 = 12 + 17 = 29 см - подходит.
Площадь боковой поверхности:
S(бок) = a*h = 6a = 6*29 = 174 см^2
