Задача 73284 Найти частное решение уравнения. y''...

6520021458bd4d4c303bbc89

11.10.2023 13:00:22

Найти частное решение уравнения.
y'' -6y' +13y=0. y=0 y'=5 x=0

626fab9a354ab65fb2f43abb

11.10.2023 13:25:09

★

y'' - 6y' + 13y = 0; y(0) = 0; y'(0) = 5
Линейное однородное дифференциальное уравнение 2 порядка
с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение:
k^2 - 6k + 13 = 0
D/4 = 3^2 - 13 = 9 - 13 = -4
k1 = 3 - 2i; k2 = 3 + 2i
y = e^(3x)*(C1*cos(2x) + C2*sin(2x))
y' = 3e^(3x)*(C1*cos(2x) + C2*sin(2x)) + e^(3x)*(-2C1*sin(2x) + 2C2*cos(2x))
y' = e^(3x)*((3C1 + 2C2)*cos(2x) + (3C2 - 2C1)*sin(2x))
Подставляем начальные условия:
{ y(0) = e^0*(C1*cos 0 + C2*sin 0) = 1*(C1*1 + C2*0) = C1 = 0
{ y'(0) = e^0*((3C1 + 2C2)*cos 0 + (3C2 - 2C1)*sin 0) = 3C1 + 2C2 = 5
Получаем: C1 = 0; C2 = 5/2 = 2,5
y = e^(3x)*(0*cos(2x) + 2,5*sin(2x)
Ответ: y = 2,5e^(3x)*sin(2x)