Задача 73282 Найти частное решение уравнения. d2...

6520021458bd4d4c303bbc89

11.10.2023 12:54:11

Найти частное решение уравнения.
d2 y/dx2 = x–cos2x. y(0)=9/4; y'(0)=–1

626fab9a354ab65fb2f43abb

11.10.2023 13:38:43

★

[m]\frac{d^2y}{dx^2} = x - cos(2x)[/m]; y(0) = 9/4; y'(0) = -1
Здесь просто надо взять интеграл два раза.
[m]\frac{dy}{dx} = \int (x - cos(2x))dx = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot sin(2x) + C1 = \frac{x^2}{2} - \frac{sin(2x)}{2} + C1[/m]
Подставляем начальное условие y'(0) = -1:
[m]\frac{dy}{dx} = \frac{0^2}{2} - \frac{sin(0)}{2} + C1 = 0 - 0 + C1 = -1[/m]
C1 = -1
[m]\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{2} - \frac{sin(2x)}{2} - 1[/m]

[m]y = \int (\frac{x^2}{2} - \frac{sin(2x)}{2} - 1)dx = \frac{x^3}{6} + \frac{cos(2x)}{4} - x + C2[/m]
Подставляем начальное условие y(0) = 9/4:
[m]y = \frac{0^3}{6} + \frac{cos(0)}{4} - 0 + C2 = 0 + \frac{1}{4} - 0 + C2 = \frac{9}{4}[/m]
C2 = 9/4 - 1/4 = 2
Ответ: y = x^3/6 + cos(2x)/4 - x + 2