Задача 73281 ...

6520021458bd4d4c303bbc89

11.10.2023 12:53:30

Найти частное решение уравнения.
x · dy/dx + y = cosx. y(π)=1/π

626fab9a354ab65fb2f43abb

11.10.2023 13:48:57

★

x*dy/dx + y = cos(x); y(π) = 1/π
Делим всё уравнение на x:
y' + y/x = cos(x)/x
Это неоднородное дифференциальное уравнение 1 порядка.
Решается заменой: y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' + u*v/x = cos(x)/x
Выносим u за скобки:
u'*v + u*(v' + v/x) = cos(x)/x
Приравниваем скобку к 0:
v' + v/x = 0
dv/dx = -v/x
dv/v = -dx/x
ln |v| = -ln |x| = ln |1/x|
[b]v = 1/x[/b]
Подставляем в уравнение:
u'*1/x + u*0 = cos(x)/x
Умножаем на x
u' = cos(x)
[b]u = sin(x) + C[/b]
Возвращаемся к функции y:
y = u*v = (sin(x) + C)*1/x
Подставляем начальное условие:
y(π) = (sin(π) + C)*1/π = (0 + C)*1/π = C/π = 1/π
[b]С = 1[/b]
Ответ: y = sin(x)/x + 1/x