Задача 73246 Найти общее решение уравнения. y' +5y =...

6520021458bd4d4c303bbc89

10.10.2023 12:44:14

Найти общее решение уравнения.
y' +5y = e^-2x.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.10.2023 12:49:20

★

Линейное уравнение первого порядка вида:

y`+p(x)*y=q(x)

p(x)=5

q(x)=e^(-2x)


Решение y находим в виде произведения u*v

y=u·v

Находим
y`=u`·v+u·v`

Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`+5·u·v=e^(-2x)

u`·v+u(v`+5·v)=x

Выбираем функцию v так,чтобы
1)v`+2·v=0

тогда

u`·v+u*0=x⇒

2)u`·v=e^(-2x)

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными


1)
v`+5*v=0 ⇒ dv/dx=-5*v ⇒ dv/v=-5*dx ⇒ ∫ dv/v=-5 ∫ dx

lnv=-5x

v=e^(-5x)


2)
u` *e^(-5x)=e^(-2x)



du= e^(3x) dx

u= ∫e^(3x)dx

u=(1/3)e^(3x)+ C


О т в е т. [b]y=u*v=((1/3)e^(3x)+ C)*e^(-5x)[/b]