Задача 73196 Непрерывная случайная величина X задана...
Условие
f (x) .
Требуется найти:
а) параметр c ;
б) функцию распределения F(x) ;
в) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X)
Решение
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Функция задана на трех промежутках, поэтому
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞} 0dx+∫ ^{2 }_{0}cx^{3}dx∫ ^{+ ∞ }_{2}0dx=0+c\cdot (\frac{x^{4}}{4})| ^{2}_{0}+0=c\cdot \frac{2^{4}}{4}=c\cdot 4=4c[/m]
[m]4c=1[/m]
[m]c=\frac{1}{4}[/m]
По определению функция распределения :
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
[b]При x ≤0[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
[b]При 0< x ≤ 2 [/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{x}_{0}\frac{1}{4}x^3dx=0+\frac{1}{4}\cdot (\frac{x^{4}}{4})| ^{x}_{0}=x^4[/m]
[b]При x >2 [/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{2}_{0}\frac{1}{4}x^3dx+∫ ^{x}_{2}0dx=0+\frac{1}{4}\cdot (\frac{x^{4}}{4})| ^{2}_{0}=1[/m]
Получаем:
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, x ≤0\\x^4, 0 < x ≤2\\1, x > 2 \end {matrix}\right.[/m]
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{2}_{0}x \cdot \frac{1}{4}x^3dx=\frac{1}{4}\cdot (\frac{x^5}{5})|^{2}_{0}=\frac{1}{4}\cdot \frac{2^5}{5}=\frac{32}{20}=\frac{8}{5}[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2[/red]
Считаем M(X^2)
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X^2)=∫ ^{2}_{0}x^2\cdot \frac{1}{4}x^3dx=\frac{1}{4}\cdot( \frac{x^6}{6})|^{2}_{0}=\frac{8}{3}[/m]
Тогда
[red][m]D(X)=\frac{8}{3}-(\frac{8}{5})^2=\frac{8}{3}-\frac{64}{25}=\frac{8\cdot 25}{75}-\frac{64\cdot 3}{75}=\frac{200-192}{75}=\frac{8}{75}[/m][/red]