Задача 73162 ...
Условие
С (Хз, Уз).
Найти:
а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы AM;
г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; д) уравнение прямой, проходящей через вершину О парал-
лельно АВ;
е) расстояние от точки С до прямой AB.
A(4;1); B(-3;-1); C(7;-3)
Решение
Для начала определим угловой коэффициент прямой AB, который равен
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁),
где:
(x₁; y₁) - координаты первой точки (A),
(x₂; y₂) - координаты второй точки (B).
k = (-1 - 1) / (-3 - 4) = 2 / 7.
У нас уже есть кусочек уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через известную точку (х₀, у₀), и имеющей известный угловой коэффициент k, можно записать в виде:
(y - y₀) = k * (x - x₀).
Подставив значения для точки A и k, получим уравнение стороны AB:
(y - 1) = 2/7 * (x - 4)
или
y = 2/7*x +5/7.
Б) Уравнение высоты СН.
Сначала найдем уравнение прямой AB, которую мы нашли ранее. Вертикальные линии перпендикулярны, поэтому угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AB, будет -1/k.
Угловой коэффициент прямой CH равен
k = -1 / (2/7) = -7/2
Следовательно, уравнение высоты СН имеет вид:
y = -7/2*(x - 7) - 3,
т.е.
y = -7/2*x + 35/2 - 6
или
y = -7/2*x + 23/2.
В) Уравнение медианы AM
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В этом случае, мы найдем середину стороны BC:
M(x₃; y₃) = ((x₂ + x₃) / 2; (y₂ + y₃) / 2) = ((-3 + 7) / 2; (-1 -3) / 2) = (2; -2).
Теперь у нас есть две точки (A и M) и мы можем найти угловой коэффициент:
k = (y₃ - y₁) / (x₃ - x₁) = (-2 - 1) / (2 - 4) = 3/2.
Используем точку A и угловой коэффициент, чтобы написать уравнение медианы AM:
(y - 1) = 3/2 * (x - 4)
которое можно упростить до
y = 3/2*x - 5.
Г) Точка N пересечения медианы АМ и высоты СН;
Чтобы решить этот пункт, нужно найти точку пересечения уравнений двух прямых (медианы AM и высоты CH). Это даст нам точку N.
Сначала выразим x из уравнения медианы:
x = (y + 5) * 2 / 3.
Теперь подставим этот x в уравнение высоты:
y = -7/2*(y + 5) * 2 / 3 + 23/2
и решим это квадратное уравнение:
2/3*y² + 35/3*y - 46 = 0.
Решив это квадратное уравнение через дискриминант, мы получим, что значение y (N) будет примерно равно -1.11.
Теперь, подставим значение y в уравнение медианы AM и получим x(N) = 2.52.
Таким образом, координаты точки пересечения N(x; y) равны (2.52; -1.11).
Д) Уравнение прямой, проходящей через вершину О параллельно АВ;
Параллельные линии имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому угловой коэффициент прямой, проходящей через О и параллельной AB, будет такой же, как у AB, k = 2/7.
О - это центроид (точка пересечения медиан треугольника) и его координаты можно найти как
O(x; y) = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3; (y₁ + y₂ + y₃) / 3) = ((4 - 3 + 7) / 3; (1 - 1 - 3) / 3) = (8 / 3; -1).
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через O(8/3; -1) и параллельной AB имеет вид:
(y + 1) = 2/7 * (x - 8/3)
или
y = 2/7*x - 38/21.
Е) Расстояние от точки С до прямой AB;
Расстояние от точки С(x₂; y₂) до прямой AB:
d = |A*x₂ + B*y₂ + C| / sqrt(A² + B²),
где A и B - это коэффициенты x и y в уравнении прямой AB: y = Ax + B, а C - это константа.
Подставляя A = -2/7, B = 1, С = -5/7, x₂ = 7, y₂ = -3 в наше уравнение, получаем:
d = |(-2/7)*7 + 1*(-3) + 5/7| / sqrt((-2/7)² + 1) ≈ 1.41.