Задача 73143 Вычислить предел функции...
Условие
Решение
Неопределенность [m]\frac{0}{0}[/m]
Умножаем числитель и знаменатель на [m]1+\sqrt{1-x^2}[/m]
[m]=lim_{x → 0}\frac{(1-\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}{(cosx-cos^2x)(1+\sqrt{1-x^2})}=[/m]
Применяем формулу разности квадратов [m](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/m]
[m]=lim_{x → 0}\frac{1^2-(\sqrt{1-x^2})^2}{cosx(1-cosx)(1+\sqrt{1-x^2})}=lim_{x → 0}\frac{1-(1-x^2)}{cosx (1-cosx)\cdot (1+\sqrt{1-x^2})}=lim_{x → 0}\frac{x^2}{cosx\cdot 2 sin^2\frac{x}{2}\cdot (1+\sqrt{1-x^2})}=[/m]
Применяем первый замечательный предел
[m]=lim_{x → 0}\frac{x^2}{sin^2\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2\cdot cosx\cdot (1+\sqrt{1-x^2})}=[/m]
[m]=lim_{x → 0}2\cdot \frac{\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}\cdot 2\cdot \frac{\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2\cdot cosx\cdot (1+\sqrt{1-x^2})}=\frac{2\cdot 2}{2\cdot cos0\cdot (1+\sqrt{1-0^2}}=2[/m]