Задача 73137 Найти общее решение уравнения y'- ytgx =...

6520021458bd4d4c303bbc89

06.10.2023 15:51:45

Найти общее решение уравнения
y'- ytgx = sinx

626fab9a354ab65fb2f43abb

06.10.2023 20:20:19

★

y' - y*tg x = sin x
Линейное неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой: y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - u*v*tg x = sin x
Выносим u за скобки:
u'*v + u*(v' - v*tg x) = sin x
Скобку приравниваем к 0:
v' - v*tg x = 0
dv/dx = v*tg x
dv/v = tg x dx
Оба интеграла - табличные.
ln v = -ln |cos x| = ln |1/cos x|
[b]v = 1/cos x[/b]
Подставляем в наше уравнение:
u'*1/cos x + u*0 = sin x
u' = sin x*cos x
[m]u = \int sin(x)cos(x)dx = |t=sin(x); dt = cos(x)dx| =[/m]
[m]= \int t\ dt = \frac{t^2}{2}+C = \frac{sin^2(x)}{2}+C[/m]
[m]u = \frac{sin^2(x)}{2}+C[/m]
Возвращаемся к переменной y:
[m]y = u \cdot v = \frac{1}{cos(x)} (\frac{sin^2(x)}{2}+C)[/m]