Задача 73136 ...

651d3a1a7dd0bb0ce07bba5b

06.10.2023 14:19:20

Вычислить интегралы ∫_(d)∫e^(x^2+y)dxdy, где D-область, заданная неравенствами 1≤x≤2, y≤ln2x, y≥lnx.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.10.2023 20:51:17

★

[m] ∫_{D}∫e^{x^2+y}dxdy= ∫^{2} _{1}( ∫^{ln2x} _{lnx}e^{x^2+y}dy)dx=[/m]


[m]∫^{2} _{1}(e^{x^2+y})|^{ln2x} _{lnx})dx=[/m]

[m]∫^{2} _{1}(e^{x^2+ln2x}-e^{x^2+lnx})dx=[/m]


[m]∫^{2} _{1}(e^{x^2}\cdot e^{ln2x}-e^{x^2}\cdot e^{lnx})dx=[/m]

Основное логарифмическое тождество

[m]=∫^{2} _{1}(e^{x^2}\cdot 2x-e^{x^2}\cdot x)dx=∫^{2} _{1}e^{x^2}\cdot xdx[/m]


[m]=\frac{1}{2}e^{x^2})|^{2}_{1}=\frac{1}{2} (e^{2^2}-e^{1^2})=\frac{e^4-e}{2}[/m]