Задача 73086 докажите неравенство логарифм ...
Условие
Решение
[m]log_{a}(b) = \frac{log_{c}(b)}{log_{c}(a)}[/m]
Причем новое основание с может быть каким угодно, главное, чтобы соблюдалось два условия: c > 0, c ≠ 1.
Будем решать эти задачи, используя это свойство.
1) [m]log_{5}(6) + log_{4}(5) = \frac{lg(6)}{lg(5)}+ \frac{lg(5)}{lg(4)} = \frac{lg(6)lg(4)+lg^2(5)}{lg(5)lg(4)}>-1[/m]
Это очевидно, потому что числа справа - все положительные, и их суммы и произведения тоже положительные.
2) [m]log_{1/4}(2) + log_{2/3}(4) = \frac{lg(2)}{lg(1/4)}+ \frac{lg(4)}{lg(2/3)} = \frac{lg(2)}{-lg(4)}+ \frac{lg(4)}{lg(2) - lg(3)} = -\frac{lg(2)}{lg(4)} - \frac{lg(4)}{lg(3) - lg(2)} < 1[/m]
Это очевидно, потому что это сумма отрицательных чисел.
Есть еще одно свойство логарифма:
[m]log_{a}(b^{c}) = c \cdot log_{a}(b)[/m]
Нам нужно доказать, что:
3) [m]8^{log_{7}(9)} = 9^{log_{7}(8)}[/m]
Логарифмируем обе части по основанию 7:
[m]log_{7}(8^{log_{7}(9)}) = log_{7}(9^{log_{7}(8)})[/m]
[m]log_{7}(9) \cdot log_{7}(8) = log_{7}(8) \cdot log_{7}(9)[/m]
Получились одинаковые выражения слева и справа.
Очевидно, они равны, значит, и начальные тоже равны.
4) [m](\frac{1}{6})^{log_{4}(1/7)} = (\frac{1}{7})^{log_{4}(1/6)}[/m]
Логарифмируем обе части по основанию 4:
[m]log_{4}((\frac{1}{6})^{log_{4}(1/7)}) = log_{4}((\frac{1}{7})^{log_{4}(1/6)})[/m]
[m]log_{4}(1/7) \cdot log_{4}(1/6) = log_{4}(1/6) \cdot log_{4}(1/7)[/m]
Получились одинаковые выражения слева и справа.
Очевидно, они равны, значит, и начальные тоже равны.