Задача 73021 Решить методом Бернулли y' - y/x =...

651b18c7ef5ebe74783e677e

02.10.2023 22:24:35

Решить методом Бернулли y' - y/x = -12/x^3, y(1) = 4

5f3ea7e3faf909182968ddd9

03.10.2023 08:41:00

★

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решаем методом Бернулли.

Находим решение в вие произведения двух произвольных функций:

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-(1/x)*u*v=12/x^3

Группируем

u`*v+(u*v`-(1/x)*u*v)=12/x^3

u`*v+u*(v`-(1/x)*v)=12/x^3

Условия на функцию v ( пусть выражение в скобках равно 0)

v`-(1/x)*v=0

тогда
u`*v=12/x^3


Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными
v`-(1/x)*v=0

dv/v=dx/x ⇒ ∫ dv/v= ∫ dx/x

lnv=lnx

v=x

Подставляем во второе


u`*x=12/x^3


u`=12/x^4

u=12*x^(-4+1)/(-4+1)+C

u=(-4/x^3)+C


y=u*v=((-4/x^3)+C)*x

[b]y=(-4/x^2)+Cx[/b]- общее решение

Частное решение
y(1)=4

4=(-4/1)+C

C=8

[b]y=(-4/x^2)+8x[/b]