Задача 73019 Проведены касательные к гиперболе...

650f300258d25566b20c614c

02.10.2023 21:46:18

Проведены касательные к гиперболе 5х2-Зу2= 15 из точки P(1; -5). Найдите расстояние между точкой хорда и точкой Р, проходящей через точки касание.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.10.2023 22:18:21

Из точки Р(1; –5) проведены касательные к гиперболе[m] \frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{5}=1[/m].
Вычислить расстояние d от точки Р(1;-5) до хорды гиперболы, соединяющей точки касания.


Решение
Уравнение касательной гиперболе [m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m] имеет вид

[m]\frac{x_{o}\cdot x}{a^2}-\frac{y_{o}\cdot y}{b^2}=1[/m]

(x_(o);y_(o))- точка касания принадлежит гиперболе [m]\frac{x_{o}^2}{a^2}-\frac{y_{o}^2}{b^2}=1[/m]

Подставляем координаты точки P в уравнение касательной и решаем систему:


[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x_{o}^2}{3}-\frac{y_{o}^2}{5}=1\\\frac{x_{o}\cdot 1}{3}-\frac{y_{o}\cdot (-5)}{5}=1
\end {matrix}\right.[/m]; [m]\left\{\begin {matrix}5x^2_{o}-3y^2_{o}=15\\\frac{x_{o}}{3}+y_{o}=1\end {matrix}\right.[/m]; [m]\left\{\begin {matrix}5x_{o}^2-3(1-\frac{x_{o}}{3})^2=15\\y_{o}=1-\frac{x_{o}}{3}\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}7x_{o}^2+3x_{o}-27=0\\y_{o}=1-\frac{x_{o}}{3}\end {matrix}\right.[/m]

Находим координаты точек касания

[m]7x_{o}^2+3x_{o}-27=0[/m]

D=9+28*27=9*(1+84)=9*85

sqrt(D)=3sqrt(85)



Составляем уравнение прямой, проходящей через точки касания



Находим расстояние от точки P до этой прямой по формуле.