Задача 72999 1. Найти проекцию вектора [c, b] на...
Условие
2. В треугольнике АВС даны координаты его вершин ... . Найти длину высоты ВD
3. Найти все значения, при которых 4 точки ... лежат в одной плоскости.
4. Найти разложение диагонали ВD1 единичного куба ... по базису, состоящему из векторов ...
Решение
[m][\vec{c},\vec{b}]=\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\4&2&1\\1&5&-1\end {vmatrix}= -7\vec{i}+5\vec{j}+18\vec{k}[/m]
Скалярное произведение:
[m][\vec{c},\vec{b}]\cdot \vec{a}=-7\cdot 1+5\cdot (-1)+18\cdot 4=60[/m]
[m]|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}[/m]
[m]пр_{\vec{a}}[\vec{c},\vec{b}]=\frac{[\vec{c},\vec{b}]\cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{60}{3\sqrt{2}}=10\sqrt{2}[/m]
3.
vector{AB}(1- λ ; λ +1-1;1-(-3))
vector{AC}(4- λ ;-3-1;2-(-3))
vector{AD}(- λ ;2-1;1-(-3))
Векторы [i]компланарны[/i], если их смешанное произведение равно 0
(vector{AB},vector{AB},vector{AB})[m]=\begin {vmatrix} 1- λ & λ &4\\4- λ &-4&5\\- λ &1&4\end {vmatrix}= [/m]
[m]=-16(1- λ)-5 λ ^2+4(4- λ )-16 λ -5(1- λ )-4 λ (4- λ)=-16+16 λ -5 λ ^2+16-4 λ -16 λ -5+5 λ -16 λ +4 λ^2=- λ^2-15 λ-5 [/m]
[m] - λ^2-15 λ-5 =0 [/m]
[m] λ^2+15 λ+5 =0 [/m]
D=225-20=205
λ _(1)= λ _(2)=
4.
vector{AB}+vector{BD_(1)}=vector{AD_(1)} ⇒
vector{BD_(1)}=vector{AD_(1)}-vector{AB}=-vector{BC_(1)}-vector{AB}
vector{BD_(1)}=}-vector{AB}-vector{BC_(1)}-0*vector{DD_(1)}
2.
S_(АВС)=(1/2)*АС*BD
BD=2S/AC=[b]sqrt(110)/sqrt(51)[/b]
