Задача 72991 а) Решите уравнение sin(2x+pi/6) =...

640f425e46b0501c3db980ca

02.10.2023 17:09:00

а) Решите уравнение sin(2x+pi/6) = cosx+cos(x+pi/6)sinx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку [-5pi;-7pi/2]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.10.2023 18:55:33

★

Применяем формулы:
sin(x+y)=
cos(x+y)

[m](sin2x)\cdot cos\frac{π}{6}+(cos2x)\cdot sin\frac{π}{6}=cosx+( (cosx)\cdot cos\frac{π}{6}-(sinx)\cdot sin\frac{π}{6})sinx[/m]

[m](sin2x)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+(cos2x)\cdot \frac{1}{2}=cosx+ ((cosx)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-(sinx)\cdot \frac{1}{2})sinx[/m]

Приводим к одному аргументу [m]x:[/m]

[m](2sinx)\cdot cosx\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+(cos^2x-sin^2x)\cdot \frac{1}{2}=cosx+ ((cosx)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-(sinx)\cdot \frac{1}{2})sinx[/m]

Упрощаем:

[m]\sqrt{3}sinx\cdot cosx+ \frac{1}{2}cos^2x-\frac{1}{2}sin^2x=cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx\cdot cosx-\frac{1}{2}sin^2x[/m]

[m]\frac{\sqrt{3}}{2}sinx\cdot cosx+\frac{1}{2}cos^2x-cosx=0[/m]


[m]cosx(\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx-1)=0[/m]

[m]cosx=0[/m] или [m]\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx-1=0[/m]



1)
[m]cosx=0[/m] ⇒ [red][m]x=\frac{π}{2}+πn, n ∈ [/m][b]Z[/b][/red]
2)
[m]\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx-1=0[/m] ⇒ [m]\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx=1[/m] ⇒ [m]sin(x+\frac{π}{6})=1[/m] ⇒

[m]x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2πk, k ∈ [/m][b]Z[/b] ⇒ [m]x=\frac{π}{2}-\frac{π}{6}+2πk, k ∈ [/m][b]Z[/b] ⇒ [red][m]x=\frac{π}{3}+2πk, k ∈ [/m][b]Z[/b] [/red]


О т в е т. a)
[red][m]x=\frac{π}{2}+πn, n ∈ [/m][b]Z[/b][/red]
[red][m]x=\frac{π}{3}+2πk, k ∈ [/m][b]Z[/b] [/red]



б)