Задача 72989 Вычислить пределы функций, не используя...
Условие
Решение
[m] lim_{x → 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt[3]{1}-1}{\sqrt{1}-1}=\frac{0}{0}[/m]
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
Умножаем числитель и знаменатель на
[m]((\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt{x}+1)[/m]
[m] lim_{x → 1}\frac{(\sqrt[3]{x}-1)((\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)((\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1)}=[/m]
[m]= lim_{x → 1}\frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)((\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1)}=lim_{x → 1}\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1}=\frac{2}{3}[/m]
2)
[m] lim_{x → 0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{3arc tgx}=\frac{\sqrt{4+0}-2}{3arc tg0}=\frac{0}{0}[/m]
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
Умножаем числитель и знаменатель на
[m]\sqrt{4+x}+2[/m]
[m] =lim_{x → 0}\frac{(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x}+2)}{3(\sqrt{4+x}+2)arc tgx}=lim_{x → 0}\frac{(\sqrt{4+x})^2-2^2}{3(\sqrt{4+x}+2)arc tgx}=lim_{x → 0}\frac{x}{3(\sqrt{4+x}+2)arc tgx}[/m]
[m]=lim_{x → 0}\frac{x}{arc tgx}\cdot \frac{1}{3(\sqrt{4+x}+2)}=1\cdot \frac{1}{3(\sqrt{4+0}+2)}=\frac{1}{12}[/m]
3)
[m]lim_{x → ∞ }(\frac{6x-7}{6x+4})^{3x+2}=(lim_{x → ∞ }\frac{6x-7}{6x+4})^{lim_{x → ∞ }(3x+2)}=1^{ ∞ }[/m]
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
[m]lim_{x → ∞ }(\frac{6x-7}{6x+4})^{3x+2}=lim_{x → ∞ }(\frac{6x-7}{6x+4})^{3x}\cdot lim_{x → ∞ }(\frac{6x-7}{6x+4})^{2}
=lim_{x → ∞ }(\frac{6x-7}{6x+4})^{3x}\cdot 1^2=[/m]
Применяем [i]второй замечательный[/i] предел, выделяем целую часть, равную 1:
[m]=lim_{x → ∞ }(\frac{6x+4-11}{6x+4})^{3x}=lim_{x → ∞ }(\frac{6x+4}{6x+4}+\frac{(-11)}{6x+4})^{3x}=[/m]
[m]=lim_{x → ∞ }(((1+\frac{1}{\frac{6x+4}{(-11)}})^{\frac{6x+4}{(-11)}})^{\frac{(-11)}{6x+4}})^{3x}=[/m]
[m]=e^{lim_{x → ∞ }\frac{(-11\cdot 3x)}{6x+4}}=e^{-\frac{33}{6}}[/m]