Задача 72986 Довести що x2+4y2-6x>4y-10...
Условие
Решение
Чтобы доказать, что одно выражение больше другого, надо найти их разность:
x^(2)+4y^(2)-6x-(4y-10)=x^(2)+4y^(2)-6x-4y+10=x^(2)-6x+(2y)^(2)-4y+10=
=x^(2)-2*x*3+3^(2)-9+(2y)^(2)-2*2y*1+1^(2)-1+10=
=(x-3)^(2)+(2y-1)^(2),
так как (x-3)^(2) ≥ 0 при любом х,
(2y-1)^(2) ≥ 0 при любом у, то
(x-3)^(2)+(2y-1)^(2) ≥ 0 при любых х и у.
Так как разность двух выражений - число неотрицательное, то первое выражение больше второго, т.е. x^(2)+4y^(2)-6x ≥ 4y-10, что и требовалось доказать.
Все решения
В задании опечатка, должно быть так:
x^2 + 4y^2 – 6x ≥ 4y – 10
Переносим всё налево:
x^2 + 4y^2 – 6x - 4y + 10 ≥ 0
Выделяем полные квадраты:
(x^2 - 6x + 9) - 9 + (4y^2 - 4y + 1) - 1 + 10 ≥ 0
Как видите, я прибавил 9 и отнял 9, и тоже самое 1,
чтобы в скобках получились квадраты разности:
(x - 3)^2 + (2x - 1)^2 ≥ 0
За скобками привёл подобные: -9 - 1 + 10 = 0.
Сумма квадратов - число неотрицательное при любых x и y.
При этом, при x = 3 и y = 1/2 выражение будет равно 0.
При любом другом сочетании x и y выражение больше 0.