Задача 72962 Добрый вечер, нужна ваша помощь,...
Условие
Задание:
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций и построить их графики:
Решение
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
2) Функция является чётной, так как
у(-х)=0,5(-x)^4-2*(-x)^2=0,5x^4-2x^2
y(-x) = y(x)
Точки пересечения с осью Ох:
f(x)=0
0,5x^4–2x^2=0
0,5*x^2*(x^2-4)=0
x^2=0
x^2-4=0
Три точки пересечения с осью Ох:
(-2;0); (0;0);(2;0)
При х=0 у=0
(0;0) - точка пересечения с осью Оу.
Исследование функции с помощью производной
y`=(0,5x^4-2x^2)`
y`=2x^3-4x;
y`=0
2x^3-4x=0
2x*(x^2-2)=0
x=0; x= ±sqrt( 2)
Знак производной
___-___ (-sqrt(2)) __+__ (0) -____ (sqrt(2)) __+_
x=-sqrt(2) и х=sqrt(2)2 – точки минимума, производная меняет знак с - на +
x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на -
y`>0 при x∈ (-sqrt(2);0) и x∈ (sqrt(2);+ ∞)
Функция возрастает при x∈(-sqrt(2);0) и x∈ (sqrt(2);+ ∞)
y`<0 при x∈ (- ∞ ;-sqrt(2)) и х ∈ (0;sqrt(2))
Функция убывает при x∈(- ∞ ;-sqrt(2)) и х ∈ (0;sqrt(2))
[b]2.[/b]
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
Исследование функции с помощью производной:
y`=(1/3)x^3-(1/2)x^2-2x+3)`
y`=(1/3)*3x^2-(1/2)*2x-2
y`=x^2-x-2
y`=0
x^2-x-2=0
D=9
x=-1; x=2
Расставляем знак производной
_+__ (-1) __-___ (2) __+__
х=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y`> 0 на (- ∞ ;-1) и на (0;+ ∞ )
Функция возрастает на (- ∞ ;-1) и на (2;+ ∞ )
y`<0 на (-1;2)
Функция убывает на (-1;2)
