Задача 72951 В кубе АВСDA1B1C1D1 точка Р- середина...

6518464ef2c01b1b41753cc6

01.10.2023 15:13:18

В кубе АВСDA1B1C1D1 точка Р- середина ребра С1D1, F-точка пересечения диагоналей грани АВВ1А1.Найдите угол между прямыми АP и CF, используя метод координат.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

01.10.2023 22:23:55

★

См куб в системе координат.
[m]cos ∠ (\vec{AP},\vec{CF})=\frac{\vec{AP}\cdot \vec{CF}}{|\vec{AP}|\cdot |\vec{CF}|}[/m]

vector{AP}(1;1;0,5)
vector{CF}(0-1;0,5-0;0,5-1)

vector{AP}*vector{CF}=1*(-1)+1*0,5+0,5*(-0,5)=-1+0,5-0,25=-0,75

|vector{AP}|=sqrt(1^2+1^2+0,5^2)=sqrt(2,25)=1,5
|vector{CF})=sqrt((-1)^2+(0,5)^2+(-0,5)^2)=sqrt(1,5)


[m]cos ∠ (\vec{AP},\vec{CF})=\frac{\vec{AP}\cdot \vec{CF}}{|\vec{AP}|\cdot |\vec{CF}|}=\frac{-0,75}{1,5\cdot \sqrt{1,5}}=-\frac{1}{\sqrt{6}}[/m]

Угол между векторами - тупой ( косинус отрицательный)

Угол между прямыми - это наименьший из двух вертикальных углов, образованных прямыми

[m]cos ∠ (AP,CF)=\frac{1}{\sqrt{6}}[/m] ⇒ [m] ∠ (AP,CF)=arccos\frac{1}{\sqrt{6}}[/m]