Задача 72944 найти производные сложенных функций...
Условие
математика
55
Решение
★
Про формулам производных СЛОЖНОЙ функции: [m]z(x(t);y(t))=z(t)[/m]
[m]\frac{ dz }{ dt}=\frac{ ∂z }{ ∂x}\cdot \frac{ dx }{ dt}+\frac{ ∂z }{ ∂y}\cdot \frac{ dy }{ dt}[/m]
Находим:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x}=(arcsin\frac{x}{y})`_{x}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}}\cdot (\frac{x}{y})_{x}=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y}=(arcsin\frac{x}{y})`_{y}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}}\cdot (\frac{x}{y})_{y}=\frac{-x}{y\cdot \sqrt{y^2-x^2}}[/m]
[m]\frac{ dx }{ dt}=(sint)`_{t}=cost[/m]
[m]\frac{ dy}{ dt}=(cost)`_{t}=-sint[/m]
Подставляем в формулу