Задача 72943 найти производные сложенных функций...
Условие
Решение
[m]\frac{ ∂z }{ ∂u}=\frac{ ∂z }{ ∂x}\cdot \frac{ ∂x }{ ∂u}+\frac{ ∂z }{ ∂y}\cdot \frac{ ∂y }{ ∂u}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂v}=\frac{ ∂z }{ ∂x}\cdot \frac{ ∂x }{ ∂v}+\frac{ ∂z }{ ∂y}\cdot \frac{ ∂y }{ ∂v}[/m]
Находим
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x}=(2y+\frac{x}{y^2})`_{x}=\frac{1}{y^2}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y}=(2y+\frac{x}{y^2})`_{y}=2+x\cdot \frac{(-2)}{y^3}[/m]
[m]\frac{ ∂x }{ ∂u}=(v\cdot cosu)`_{u}=v\cdot (-sinu)[/m]
[m]\frac{ ∂y }{ ∂u}=(u\cdot\sqrt{v})`_{u}=\sqrt{v}[/m]
[m]\frac{ ∂x }{ ∂v}=(v\cdot cosu)`_{v}=cosu[/m]
[m]\frac{ ∂y }{ ∂v}=(u\cdot\sqrt{v})`_{v}=\frac{u}{2\sqrt{v}}[/m]
и подставляем:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂u}=\frac{1}{y^2}\cdot v\cdot (-sinu)+2- \frac{2x}{y^3}\cdot \sqrt{v}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂v}=\frac{1}{y^2}\cdot cosu+2- \frac{2x}{y^3}\cdot \frac{u}{2\sqrt{v}}[/m]