Задача 72920 Решить уравнения: a) sqrt(5-4x) =...
Условие
a) sqrt(5-4x) = 2,1
б) sqrt(3x+1) = 2x
в) sqrt(4x^2-3x-1) = x+1
Решение
Возводим обе части уравнения в квадрат
(sqrt(5-4x))^2=2,1^2
5-4x=4,41
-4х=4,41-5
-4х=-0,59
х=-0,59:(-4)
[b]x=0,1475[/b]
б)
Возводим обе части уравнения в квадрат
(sqrt(3x+1))^2=(2х)^2
3x+1=4x^2
4x^2-3x-1=0
D=(-3)^2-4*4*(-1)=9+16=25
x_(1)=(3-5)/8=-1/4; x_(2)=(3+5)/8=1
При возведении в квадрат появляются посторонние корни.
Поэтому делаем проверку
x_(1)=-1/4
sqrt(3*(-1/4)+1)=2*(-1/4)
sqrt((-3/4)+1)=-(1/2)
sqrt(1/4)=-(1/2)- неверно, так как [i]арифметический квадратный корень[/i] - число [b]неотрицательное[/b]
x_(2)=(3+5)/8=[b]1[/b]
sqrt(3*[b]1[/b]+1)=2*[b]1[/b]- верно, так как
sqrt(4)=2 - верно
О т в е т. [b] х=1[/b]
2 способ
Уравнение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно и правая часть тоже неотрицательна ( [i]арифметический квадратный корень[/i] - выражение [b]неотрицательное[/b])
Эти два условия должны выполняться [b]одновременно[/b], поэтому система:
{3x+1 ≥0
{2x ≥ 0
⇒
{x ≥ -1/3
{x ≥ 0
⇒
[red][b]x ≥ 0[/b][/red]
Далее так же, как и при первом способе решения
Возводим обе части уравнения в квадрат
(sqrt(3x+1))^2=(2х)^2
3x+1=4x^2
4x^2-3x-1=0
D=(-3)^2-4*4*(-1)=9+16=25
x_(1)=(3-5)/8=-1/4; x_(2)=(3+5)/8=1
x_(1) не удовлетворяем условию [red][b]x ≥ 0[/b][/red]
О т в е т.[b] х=1[/b]
Все решения
[m]\sqrt{4x^2-3x-1} = x+1[/m]
ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным и сам корень тоже, поэтому правая часть тоже неотрицательна.
{ 4x^2 - 3x - 1 ≥ 0
{ x + 1 ≥ 0
Решаем:
{ (4x + 1)(x - 1) ≥ 0
{ x ≥ -1
Получаем:
{ x ∈ (-oo; -1/4] U [1; +oo)
{ x ∈ [-1; +oo)
ОДЗ: x ∈ [-1; -0,25] U [1; +oo)
Решаем само уравнение возведением в квадрат
4x^2 - 3x - 1 = x^2 + 2x + 1
3x^2 - 5x - 2 = 0
D = (-5)^2 - 4*3(-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2
x1 = (5 - 7)/6 = -2/6 = -1/3 ∈ [-1; -0,25] - подходит
x2 = (5 + 7)/6 = 12/6 = 2 ∈ [1; +oo) - подходит.
Ответ: x1 = -1/3; x2 = 2