Задача 72856 5^2x-1 - 2*5^x - 75 >=0 решить...
Условие
математика 10-11 класс
652
Решение
★
5^(2x)*5^(-1)-2*5^(x)-75 ≥ 0,
5^(2x)*5^(-1)*5-2*5*5^(x)-75*5 ≥ 0*5,
5^(2x)-10*5^(x)-375 ≥ 0,
пусть 5^(x)=t, тогда получаем неравенство:
t^(2)-10t-375 ≥ 0,
t^(2)-10t-375=0,
D=100+1500=1600=40^(2),
t=(10 ± 40)/2,
t_(1)=-15, t_(2)=25,
(t+15)(t-25) ≥ 0,
обратный переход:
(5^(x)+15)(5^(x)-25) ≥ 0,
так как 5^(x)+15>0 при любом х, то
5^(x)-25 ≥ 0,
5^(x) ≥ 25,
5^(x) ≥ 5^(2),
так как показательная функция с основанием 5>1 является возрастающей, то переходим к неравенству:
х ≥ 2,
х ∈ [2; + ∞ ).
Ответ: [2; + ∞).