Задача 72795 Нужно решить к завтрашнему дню. Тема...
Условие
Решение
Разложить дробь на сумму дробей
(2- i)/3 = 2/3 - i/3
И складываем отдельно действительные числа, отдельно мнимые.
3 + 17i + (2 - i)/3 = (3 + 2/3) + i*(17 - 1/3) = 11/3 + i*50/3
2) [m](3 + 17 \cdot i) \cdot \frac{2-i}{3}[/m]
Раскрываем скобки, помня, что i*i = -1
[m](3 + 17i) \cdot \frac{2-i}{3} = \frac{(3 + 17i)(2-i)}{3} = \frac{6 + 34i - 3i + 17}{3} = \frac{23 + 31i}{3} = \frac{23}{3} + \frac{31}{3} \cdot i[/m]
3) (3 + 11*i) : i
Поскольку 1/i = -i, то:
(3 + 11*i) : i = (3 + 11*i)*(-i) = -3*i - 11*i^2 = 11 - 3*i
4) (i + 1)^2 = i^2 + 2*i*1 + 1^2 = -1 + 2*i + 1 = 2*i
5) |2 - 14*i| = sqrt(2^2 + (-14)^2) = sqrt(4 + 196) = sqrt(200) = 10sqrt(2)
6) [m](i + 1)^{2} + \frac{-2 + 3i}{2i} = 2i + \frac{(-2 + 3i)(-i)}{2}=[/m]
[m]= 2i + \frac{2i - 3i^{2}}{2} = 2i + \frac{3 + 2i}{2} = 2i + \frac{3}{2} + i = \frac{3}{2} + 3i[/m]
Б. 1) [m]\frac{2 - i}{5} + \frac{2 + i}{10} = \frac{4 - 2*i}{10} + \frac{2 + i}{10} = \frac{6 - i}{10} = \frac{6}{10} - \frac{i}{10}[/m]
2) (2 - i)/5*(2 + i)/10 = (2 - i)(2 + i)/50 = (4 - i^2)/50 = (4 + 1)/50 = 1/10
3) [m]\frac{2 - i}{5}: \frac{2 + i}{10} = \frac{2 - i}{5} \cdot \frac{10}{2+i}[/m]
Домножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю.
[m]\frac{2 - i}{5} \cdot \frac{10}{2+i} = \frac{2(2 - i)}{2+i} = \frac{2(2 - i)(2 - i)}{(2+i)(2 - i)} = \frac{2(4 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2)}{4 - i^{2}} = \frac{2(3 - 4i)}{4 +1} = \frac{6}{5} - \frac{8}{5} \cdot i[/m]
4) [m](\frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^{4}[/m]
Переводим в тригонометрическую форму.
[m](\frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^{4} = [|1|(\cos(\frac{\pi}{4}) + i \cdot \sin(\frac{\pi}{4}))]^4 = [/m]
[m] = 1^{4}(\cos(\frac{4\pi}{4}) + i \cdot \sin(\frac{4\pi}{4})) = 1(\cos(\pi) + i \cdot \sin(\pi)) = -1 + i \cdot 0 = -1[/m]
5) [m]|\frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1[/m]
6) [m]\frac{1+iz}{1-iz} [/m] при [m]z=-2+3i[/m]
[m]\frac{1+i(-2+3i)}{1-i(-2+3i)}[/m]
Вычислим отдельно:
[m]iz = i(-2+3i) = -2i + 3i^{2} = -3-2i[/m]
Подставляем:
[m]\frac{1+(-3-2i)}{1-(-3-2i)} = \frac{-2-2i}{4+2i} = \frac{-1-i}{2+i} = \frac{(-1-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{-2-2i+i+i^2}{4-i^2} = \frac{-3-i}{5}=-\frac{3}{5}-i \cdot \frac{1}{5}[/m]