Задача 72790 Найти длину высоты параллелепипеда...
Условие
Решение
ax+by+cz+d=0 - общее уравнение плоскости
Подставляем координаты точек
A(1;1;–1) : a*1+b*1+c*(-1)+d=0
B(3;5;–2) : a*3+b*5+c*(-2)+d=0
D(2;1;0) : a*2+b*1+c*0+d=0
Решаем систему
{a*1+b*1+c*(-1)+d=0
{a*3+b*5+c*(-2)+d=0
{a*2+b*1+c*0+d=0 ⇒ d=-2a-b
{a*1+b*1+c*(-1)-2a-b=0 ⇒ -a-c= ⇒ [b]a=-c[/b]
{a*3+b*5+c*(-2)-2a-b=0 ⇒ a+4b-2c=0 ⇒ -c+4b-2c=0 ⇒ [b]b=(3/4)c[/b]
⇒ d=-2a-b=-2*(-c)-(3/4)c
[b]d=(5/4)c[/b]
-c*x+(3/4)*c*y+cz+(5/4)*c=0
Сокращаем на c
-x+(3/4)*y+z+(5/4)=0
-4x+3y+4z+5=0
[b]4x-3y-4z-5=0[/b] - уравнение плоскости АВD
2 способ
Составляем уравнение плоскости, проходящей через три точки:
A(1;1;–1) ; B(3;5;–2) ; D(2;1;0)
Пусть M (x;y;z) - произвольная точка плоскости ABD
Тогда векторы
vector{AM}=(x-1;y-1;z+1)
vector{AB}=(3-1;5-1;-2+1)=(2;4;-1)
vector{AD}=(2-1;1-1;0+1)=(1;0;1)
лежат в одной плоскости, значит компланарны.
Условие компланарности - равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов.
[m]\begin {vmatrix} x-1&y-1&z+1\\2&4&-1\\1&0&1\end {vmatrix}=0[/m]
Раскрываем определитель, получаем уравнение:
[b]4x-3y-4z-5=0[/b] - уравнение плоскости АВD
Высота из точки A_(1) на плоскость ABD
-это расстояние от точки A_(1)(4;3;2) до плоскости АВD
Применяем формулу ( cм скрин)
A_(1)(4;3;2)
x_(o)=4
y_(o)=3
z_(o)=2
[m]d=\frac{|4\cdot 4-3\cdot 3-4\cdot 2-5|}{\sqrt{4^2+(-3)^2+(-4)^2}}=\frac{6}{\sqrt{41}}[/m]
