Задача 72771 Решите так чтобы можно было записать на...
Условие
Решение
Смотри рисунок
2. Решите уравнение.
1) [m]4^{x+3} - 4^{x} = 63[/m]
[m]4^{x} \cdot 4^{3} - 4^{x} = 63[/m]
[m]4^{x} \cdot 64 - 4^{x} = 63[/m]
[m]4^{x} \cdot 63 = 63[/m]
Делим на 63
[m]4^{x} = 1[/m]
[m]4^{x} = 4^{0}[/m]
[b]Ответ: x = 0[/b]
2) [m]36^{x} - 4 \cdot 6^{x} = 12[/m]
Замена 6^(x) = y > 0 при любом x.
y^2 - 4y - 12 = 0
(y - 6)(y + 2) = 0
y = -2 < 0 - не подходит
y = 6 > 0 - подходит.
[m]6^{x} = 6[/m]
[m]6^{x} = 6^{1}[/m]
[b]Ответ: x = 1[/b]
3) [m](2^{x-5})^{x+3} = 0,5^{x} \cdot 8^{x-6}[/m]
Слева находим степень как произведение показателей.
Справа приводим числа к основанию 2.
[m]2^{(x-5)(x+3)} = (\frac{1}{2})^{x} \cdot 2^{3(x-6)}[/m]
[m]2^{x^2-5x+3x-15} = 2^{-x} \cdot 2^{3x-18}[/m]
[m]2^{x^2-2x-15} = 2^{2x-18}[/m]
Так как степени равны и основания тоже, приравниваем показатели:
x^2 - 2x - 15 = 2x - 18
x^2 - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
[b]Ответ: x1 = 1; x2 = 3[/b]
3. Решить неравенство.
1) [m]0,3^{\frac{x^2+x-15}{x+3}} ≥ 0,027[/m]
ОДЗ: x ≠ -3
Приводим правую часть к основанию 0,3.
[m]0,3^{\frac{x^2+x-15}{x+3}} ≥ 0,3^{3}[/m]
Так как 0,3 ∈ (0; 1), то график функции y = 0,3^(x) - убывающий.
Поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется.
[m]\frac{x^2+x-15}{x+3} ≤ 3[/m]
[m]\frac{x^2+x-15}{x+3} - 3 ≤ 0[/m]
[m]\frac{x^2+x-15 - 3(x+3)}{x+3} ≤ 0[/m]
[m]\frac{x^2+x-15 - 3x-9}{x+3} ≤ 0[/m]
[m]\frac{x^2-2x-24}{x+3} ≤ 0[/m]
[m]\frac{(x-6)(x+4)}{x+3} ≤ 0[/m]
По методу интервалов:
Числовая прямая разбивается на промежутки:
(-oo; -4]; [-4; -3); (-3; 6]; [6; +oo)
Берем любое число из любого промежутка, например, x = 0 ∈ (-3; 6]
[m]\frac{(0-6)(0+4)}{0+3} = \frac{(-6) \cdot 4}{3} < 0[/m]
Нам даже не надо вычислять, достаточно понять, что выражение < 0.
Нам это подходит, значит, промежуток (-3; 6] входит в решение.
А соседние промежутки [-4; -3) и [6; +oo) - не входят.
Оставшийся промежуток (-oo; -4] - тоже входит в решение.
[b]Ответ: x ∈ (-oo; -4] U (-3; 6][/b]
2) [m]5^{2x-1} - 2 \cdot 5^{x} - 75 ≥ 0[/m]
[m]5^{2x} \cdot 5^{-1} - 2 \cdot 5^{x} - 75 ≥ 0[/m]
Умножаем всё неравенство на 5 и делаем замену:
y = 5^(x) > 0 при любом x
y^2 - 10y - 375 ≥ 0
(y + 15)(y - 25) ≥ 0
y > 0 при любом x, значит, y + 15 > 0, тогда
y - 25 ≤ 0
5^(x) ≤ 25
5^(x) ≤ 5^2
x ≤ 2
[b]Ответ: x ∈ (-oo; 2][/b]