Задача 72766 для всех натуральных n доказать...

650c180e3d68c97a8cc260f2

21.09.2023 13:19:55

для всех натуральных n доказать неравенство sqrt(1^3 + sqrt(2^3+...+sqrt(n^3))) < 4

626fab9a354ab65fb2f43abb

21.09.2023 19:25:49

★

Можно попробовать методом математической индукции (ММИ).
При n = 1 получаем:
[m]\sqrt{1^{3}} = \sqrt{1} = 1 < 4[/m] - верно
При n = 2 получаем:
[m]\sqrt{1^{3}+\sqrt{2^3}} = \sqrt{1 + \sqrt{8}} < \sqrt{1+3} < 4[/m] - верно
Пусть при некотором n это неравенство верно.
[m]\sqrt{1^{3}+\sqrt{2^3 + ... + \sqrt{n}}} < 4[/m] - верно.
Докажем, что оно верно при n+1
[m]\sqrt{1^{3}+\sqrt{2^3 + ... + \sqrt{n + \sqrt{n+1}}}} < 4[/m]
Последний корень:
[m]\sqrt{n + \sqrt{n+1}} < \sqrt{n} + \sqrt[4]{n+1} < \sqrt{n} + \sqrt{n+1}[/m]
Поэтому весь большой корень останется меньше 4.