Задача 72718 Решите с решением, чтобы можно было...

644fdb643b74286fc3ffa777

19.09.2023 15:17:34

Решите с решением, чтобы можно было написать на листочке и все было понятно

626fab9a354ab65fb2f43abb

19.09.2023 15:55:02

★

B1. Сколько натуральных чисел является решением неравенства?
[m]2^{3x-5} ≤ 64[/m]
[m]2^{3x-5} ≤ 2^{6}[/m]
Так как 2 > 1, то функция y = 2^(x) - возрастающая, поэтому при переходе от степеней к показателям знак неравенства сохраняется:
3x - 5 ≤ 6
3x ≤ 11
x ≤ 11/3
x ≤ 3 2/3
Натуральные x: 1, 2, 3
Ответ: 3.

B2. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:
[m](\frac{5}{2})^{2x+3} < \frac{4}{25}[/m]
[m](\frac{5}{2})^{2x+3} < (\frac{2}{5})^{2}[/m]
[m](\frac{5}{2})^{2x+3} < (\frac{5}{2})^{-2}[/m]
Так как 5/2 > 1, то функция [m]y = (\frac{5}{2})^{x}[/m] - возрастающая, поэтому при переходе от степеней к показателям знак неравенства сохраняется:
2x + 3 < -2
2x < -5
x < -5/2
x < -2,5
Ответ: Наибольшее целочисленное x = -3.

B3. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства:
0,2^(x) + 0,2^(x+1) ≤ 0,24
0,2^(x) + 0,2*0,2^(x) ≤ 0,24
1,2*0,2^(x) ≤ 0,24
0,2^(x) ≤ 0,24/1,2
0,2^(x) ≤ 24/120
0,2^(x) ≤ 1/5
0,2^(x) ≤ 0,2^1
Так как 0 < 0,2 < 1, то функция y = 0,2^(x) - убывающая, поэтому при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется:
x ≥ 1
Ответ: Наименьшее целочисленное x = 1.

B4. Сколько целочисленных решений имеет неравенство?
[m](\frac{1}{9})^{2x^2-3x} > \frac{1}{81}[/m]
[m](\frac{1}{9})^{2x^2-3x} > (\frac{1}{9})^{2}[/m]
Так как 0 < 1/9 < 1, то функция y = (1/9)^(x) - убывающая, поэтому при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется:
2x^2 - 3x < 2
2x^2 - 3x - 2 < 0
(x - 2)(2x + 1) < 0
x ∈ (-0,5; 2)
Целочисленные решения: 0, 1
Ответ: 2.

B5. Решите неравенство, в ответе укажите длину промежутка:
3^(2x) - 4*3^(x) + 3 ≤ 0
Замена 3^(x) = y, тогда:
y^2 - 4y + 3 ≤ 0
(y - 1)(y - 3) ≤ 0
y = 3^(x) ∈ [1; 3]
3^(x) ∈ [3^0; 3^1]
x ∈ [0; 1]
Ответ: Длина промежутка 1.

B6. Найдите длину промежутка, являющегося решением системы неравенств:
{ 0,1^(x^2+1) ≥ 0,01
{ 4^(2x+3) ≥ 16
Преобразуем правые части в степени:
{ 0,1^(x^2+1) ≥ (0,1)^2
{ 4^(2x+3) ≥ 4^2
Так как 0 < 0,1 < 1, то функция y = 0,1^(x) - убывающая, поэтому при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется:
Так как 4 > 1, то функция y = 4^(x) - возрастающая, поэтому при переходе от степеней к показателям знак неравенства сохраняется:
{ x^2 + 1 ≤ 2
{ 2x + 3 ≥ 4
Решаем:
{ x^2 - 1 ≤ 0
{ 2x ≥ 1
1 неравенство раскладываем как разность квадратов:
{ (x + 1)(x - 1) ≤ 0
{ x ≥ 0,5
Получаем:
{ x ∈ [-1; 1]
{ x ≥ 0,5
Решение: x ∈ [0,5; 1]
Ответ: Длина промежутка 0,5.