Задача 72712 Из нового синтетического материала...

65095d56fc4e2748ec40ecc2

19.09.2023 11:36:45

Из нового синтетического материала изготовили брусок в форме прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 12 см, а площадь полной поверхности равна 192 см2?. Брусок был подвергнут давлению по всем граням таким образом, что он сохранил форму прямоугольного параллелепипеда, но каждое ребро уменьшилось на 1 см. Площадь полной поверхности бруска уменьшилась при этом на 70 см2. Найдите длину диагонали первоначального бруска.

626fab9a354ab65fb2f43abb

19.09.2023 16:46:44

★

Высота прямоугольного параллелепипеда была:
h = 12 см
Длину и высоту основания обозначим а и b.
Площадь полной поверхности:
S1 = 2(a*b + a*h + b*h) = 192 см^2
[b]a*b + 12a + 12b = 192 : 2 = 96[/b]
Параллелепипед сжали так, что все ребра уменьшились на 1 см и стали:
a-1см, b-1 см, h-1 = 12 - 1 = 11 см.
А площадь полной поверхности стала на 70 см^2 меньше:
S2 = 2((a-1)(b-1) + 11(a-1) + 11(b-1)) = 192 - 70 = 122
[b](a-1)(b-1) + 11(a-1) + 11(b-1) = 122 : 2 = 61[/b]
Получили систему двух уравнений:
{ a*b + 12a + 12b = 96
{ a*b - a - b + 1 + 11a - 11 + 11b - 11 = 61
Приводим подобные во 2 уравнении:
{ a*b + 12a + 12b = 96
{ a*b + 10a + 10b = 82
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение:
2a + 2b = 14
Отсюда:
a + b = 14 : 2 = 7
b = 7 - a
Подставляем в любое уравнение:
a*b + 12a + 12b = 96
a(7 - a) + 12(a + b) = 96
a(7 - a) + 12*7 = 96
7a - a^2 = 96 - 84 = 12
a^2 - 7a + 12 = 0
(a - 3)(a - 4) = 0
[b]a1 = 3; b1 = 4
a2 = 4; b2 = 3[/b]
Таким образом, стороны основания равны 3 и 4 см.
Объемная диагональ параллелепипеда (их 4 одинаковых) равна:
D = sqrt(a^2 + b^2 + h^2) = sqrt(3^2 + 4^2 + 12^2) = sqrt(9 + 16 + 144) = sqrt(169) = 13 см

[b]Ответ: 13 см[/b]