Задача 72675 ...

650823b36fd530065da70b69

18.09.2023 13:31:43

Задание 4. Исследуйте средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и постройте её график y=(2-x²)/(sqrt(9x²-4))

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.09.2023 10:39:35

★

Область определения:
9-x^2 >0 ⇒
(3-x)(3+x) >0
__-__ (-3) __+__ (3) __-__

[red]x ∈ (-3;3)[/red]

x=-3 и x=3 - вертикальные асимптоты, график расположен в полосе между этими прямыми

[m]y`=\frac{(2-x^2)`\cdot \sqrt{9-x^2}-(2-x^2)\cdot (\sqrt{9-x^2})`}{(\sqrt{9-x^2})^2}[/m]


[m]y`=\frac{(-2x)\cdot \sqrt{9-x^2}-(2-x^2)\cdot (\frac{(9-x^2)`}{2\sqrt{9-x^2}}}{9-x^2}[/m]


[m]y`=\frac{(-2x)\cdot 2\cdot (9-x^2)-(2-x^2)\cdot (-2x)}{2(9-x^2)\sqrt{9-x^2}}[/m]


[m]y`=\frac{-36x+4x^3+4x-4x^3}{2(9-x^2)\sqrt{9-x^2}}[/m]

[m]y`=\frac{(-16x)}{(9-x^2)\sqrt{9-x^2}}[/m]

[m]y`=0[/m]

[m]x=0[/m]

Знак производной:

(-3) _+__ (0) _-__ (3)


х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(0)=[m]\frac{(2-0^2)}{ \sqrt{9-0^2}}[/m]


y`> 0 на (- 3 ;0)
Функция возрастает на \frac{(2-x^2)`\cdot \sqrt{9-x^2}

y`<0 на (0;-3)
Функция убывает на (0;-3)