Задача 72674 ...
Условие
Решение
Область определения НЕ симметрична относительно 0
Функция НЕ является ни [b]чётной[/b], ни [b]нечётной[/b]
Прямая [m] x=2 [/m] является [i] вертикальной[/i] асимптотой.
Так как [m] lim_{x → 0}\frac{2 x^2-6}{x-2}= ∞ [/m]
[m] lim_{x → -0}\frac{2 x^2-6}{x-2}=- ∞ [/m]
[m] lim_{x → +0}\frac{2 x^2-6}{x-2}=+ ∞ [/m]
[i]Горизонтальной[/i] асимптоты нет, так как
[m] lim_{x →- ∞}\frac{2 x^2-6}{x-2}= -∞ [/m]
[m] lim_{x →+ ∞}\frac{2 x^2-6}{x-2}= +∞ [/m]
[i]Наклонная асимптота [/i] :
[b] y=2x+4[/b]
[m] k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}\frac{2 x^2-6}{x(x-2)}=2[/m]
[m] b= lim_{x → ∞}(y-kx)=lim_{x → ∞}\frac{2 x^2-6}{x-2}-2x=lim_{x → ∞}\frac{2 x^2-6-2x(x-2)}{x-2}=lim_{x → ∞}\frac{4x-6}{x-2}=4[/m]
[b]Исследование с помощью первой производной[/b]:
[m]y`=(\frac{2 x^2-6}{x-2})`[/m]
[m]y`=\frac{(2 x^2-6)`\cdot(x-2)-(2x^2-6)\cdot (x-2)`}{(x-2)^2}[/m]
[m]y`=\frac{4 x\cdot (x-2)-(2x^2-6)\cdot 1}{(x-2)^2}[/m]
[m]y`=\frac{4x^2-8x-2x^2+6}{(x-2)^2}[/m]
[m]y`=\frac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2}[/m]
[m]y`=\frac{2(x^2-4x+3)}{x^4}[/m]
y`=0
x^2-4x+3=0
x=1; x=3
Расставляем знак производной на [i]на области определения[/i]
___+__ (1) ____-__ (2) __- __ (3) __+___
y`<0 на (-2;0) и на (1;2 ) и (2;3)
Значит функция убывает на (1;2 ) и (2;3)
y`>0 на (- ∞ ; 1) и на (3;+ ∞ )
Значит, функция возрастает на (- ∞ ; 1) и на (3;+ ∞ )
х=1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
x=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
[m]y(1)=\frac{2 \cdot 1^2-6}{1-2}=4[/m]
[m]y(3)=\frac{2 \cdot 3^2-6}{3-2}=12[/m]