Задача 72618 Решите умоляю...
Условие
Решение
Это уравнение должно иметь такие же коэффициенты, как у заданной плоскости:
(x - 2) + 3(y - 5) - 4(z + 1) = 0
x - 2 + 3y - 15 - 4z - 4 = 0
x + 3y - 4z - 21 = 0
2) Даны точки M1(0; -1; 3) и M2(1; 3; 5)
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M1 и перпендикулярной к вектору N = M1M2
Найдем сначала вектор N = M1M2:
N = (1 - 0; 3 + 1; 5 - 3) = (1; 4; 2)
Если вектор перпендикулярен к плоскости, значит, он является нормальным вектором плоскости. Уравнение плоскости:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,
где A, B, С - координаты нормального вектора N.
Уравнение плоскости:
1(x - 0) + 4(y + 1) + 2(z - 3) = 0
x + 4y + 4 + 2z - 6 = 0
x + 4y + 2z - 2 = 0
3) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M(2; -1; 3) и отсекающей на осях равные отрезки.
Пусть плоскость отсекает на осях отрезки длиной а.
Тогда она проходит через 3 точки: A(a; 0; 0); B(0; a; 0); C(0; 0; a).
Составим уравнение плоскости по трем точкам:
[m]\begin{vmatrix}
x-a & y-0 & z-0 \\
0-a & a-0 & 0-0 \\
0-a & 0-0 & a-0 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Считаем:
[m]\begin{vmatrix}
x-a & y & z \\
-a & a & 0 \\
-a & 0 & a \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
(x-a)*a*a + y*0(-a) + z*0(-a) - (x-a)*0*0 - y*a(-a) - z*a(-a) = 0
(x - a)*a^2 + 0 + 0 - 0 + y*a^2 + z*a^2 = 0
(x - a)*a^2 + y*a^2 + z*a^2 = 0
После сокращения a^2 получаем:
x - a + y + z = 0
Но эта плоскость также проходит через M(2; -1; 3). Подставляем:
2 - a - 1 + 3 = 0
a = 4 - это расстояния, которые плоскость отсекает от осей.
Уравнение плоскости:
x + y + z - 4 = 0
4) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки:
M1(1; -1; 2); M2(2; 1; 2); M3(1; 1; 4)
Составим уравнение плоскости по трем точкам:
[m]\begin{vmatrix}
x-1 & y+1 & z-2 \\
2-1 & 1+1 & 2-2 \\
1-1 & 1+1 & 4-2 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Считаем:
[m]\begin{vmatrix}
x-1 & y+1 & z-2 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 2 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
(x-1)*2*2 + (y+1)*0*0 + (z-2)*1*2 - (x-1)*0*2 - (y+1)*1*2 - (z-2)*0*2 = 0
4(x - 1) + 0 + 2(z - 2) - 0 - 2(y + 1) - 0 = 0
Делим всё на 2:
2(x - 1) + (z - 2) - (y + 1) = 0
2x - 2 - y - 1 + z - 2 = 0
2x - y + z - 5 = 0
5) Найти расстояние от точки P(4; 3; 0) до плоскости, проходящей через точки: M1(1; 3; 0); M2(4; -1; 2); M3(3; 0; 1)
Составим уравнение плоскости по трем точкам:
[m]\begin{vmatrix}
x-1 & y-3 & z-0 \\
4-1 & -1-3 & 2-0 \\
3-1 & 0-3 & 1-0 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Считаем:
[m]\begin{vmatrix}
x-1 & y-3 & z \\
3 & -4 & 2 \\
2 & -3 & 1 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
(x-1)(-4)*1 + (y-3)*2*2 + z*3(-3) - (x-1)*2(-3) - (y-3)*1*3 - z*2(-4) = 0
-4(x - 1) + 4(y - 3) - 9z + 6(x - 1) - 3(y - 3) + 8z = 0
2(x - 1) + y - 3 - z = 0
2x + y - z - 5 = 0
Теперь нам надо найти расстояние от P(4; 3; 0) до этой плоскости.
Это можно найти по такой формуле:
[m]d = \frac{|A \cdot x0 + B \cdot y0 + C \cdot z0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 - 1 \cdot 0 - 5|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{|8 + 3 - 0 - 5|}{\sqrt{4+1+1}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}[/m]
6) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку P(1; 2; 3) перпендикулярно плоскостям: x - y + z - 7 = 0 и 3x + 2y - 12z + 5 = 0.
Две плоскости, пересекаясь, образуют прямую.
Найдем каноническое уравнение этой прямой.
{ x - y + z - 7 = 0
{ 3x + 2y - 12z + 5 = 0
Возьмем z = 0, получим систему:
{ x - y = 7
{ 3x + 2y = 5
Решаем подстановкой:
{ y = x - 7
{ 3x + 2(x - 7) = 5
3x + 2x - 14 = 5
5x = 19; x = 19/5 = 3,75; y = x - 7 = 3,75 - 7 = -3,25
Прямая проходит через точку M1(3,75; -3,25; 0)
Возьмем z = -1, получим систему:
{ x - y = 8
{ 3x + 2y = 17
Решаем подстановкой:
{ y = x - 8
{ 3x + 2(x - 8) = 17
3x + 2x - 16 = 17
5x = 33; x = 33/5 = 6,6; y = x - 8 = 6,6 - 8 = -1,4
Прямая проходит через точку M2(6,6; -1,4; -1)
Строим уравнение прямой через две точки:
[m]\frac{x-3,75}{6,6-3,75} = \frac{y+3,25}{-1,4+3,25} = \frac{z-0}{-1-0}[/m]
[m]\frac{x-3,75}{2,85} = \frac{y+3,25}{1,85} = \frac{z}{-1}[/m]
Умножим все знаменатели на 20, перейдем к целым числам:
[m]\frac{x-3,75}{57} = \frac{y+3,25}{37} = \frac{z}{-20}[/m]
Нам нужно построить уравнение плоскости, перпендикулярной этой прямой. Значит, эта прямая - нормальная к плоскости.
Уравнение плоскости:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Где A, B, С - коэффициенты прямой, то есть знаменатели.
И прямая должна проходить через точку P(1; 2; 3). Получаем:
57(x - 1) + 37(y - 2) - 20(z - 3) = 0
57x - 57 + 37y - 74 - 20z + 60 = 0
57x + 37y - 20z - 77 = 0
7) Найти точку пересечения плоскостей:
{ 2x - y + 3z - 9 = 0
{ x + 2y + 2z - 3 = 0
{ 3x + y - 4z + 6 = 0
Решаем систему методом Гаусса:
{ x + 2y + 2z - 3 = 0
{ 2x - y + 3z - 9 = 0
{ 3x + y - 4z + 6 = 0
Умножаем 1 уравнение на -2 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -3 и складываем с 3 уравнением.
{ x + 2y + 2z - 3 = 0
{ 0x - 5y - z - 3 = 0
{ 0x - 5y - 10z + 15 = 0
2 уравнение умножаем на -1 и складываем с 3 уравнением:
{ x + 2y + 2z - 3 = 0
{ 0x - 5y - z - 3 = 0
{ 0x + 0y - 9z + 18 = 0
Из 3 уравнения:
9z = 18; z = 2
Из 2 уравнения:
-5y - 2 - 3 = 0; y = -1
Из 1 уравнения:
x - 2 + 4 - 3 = 0; x = 1
Точка пересечения плоскостей: M(1; -1; 2)
8) Найти уравнение перпендикуляра, опущенного
из точки M(2; -3; 4) на ось Oz.
Каноническое уравнение оси Oz:
[m]\frac{x}{0} = \frac{y}{0} = \frac{z}{1}[/m]
Заметьте, что здесь нули в знаменателе - законны!
Это просто условная запись, означающая, что координаты всех точек на оси Oz имеют x = 0 и y = 0.
Составим каноническое уравнение нашей прямой с пока неизвестными коэффициентами:
[m]\frac{x-2}{m} = \frac{y+3}{n} = \frac{z-4}{p}[/m]
Так как она перпендикулярна к оси Oz, то выполняется равенство:
m*0 + n*0 + p*1 = 0
Отсюда p = 0, а m и n могут быть любыми, например, m = n = 1
Уравнение прямой:
[m]\frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{1} = \frac{z-4}{0}[/m]
Номера 9, 10 и 11 плохо напечатаны, я их не понимаю.