Задача 72601 При якому значенні коефіціента.......
Условие
Решение
При каком значении k прямая y = kx + 9 проходит через точку пересечения этих прямых?
Найдем точку пересечения, для этого решим систему:
{ x - y + 5 = 0
{ x + 2y + 2 = 0
Решаем подстановкой:
{ x = y - 5
{ y - 5 + 2y + 2 = 0
3y = 5 - 2
[b]y = 1; x = 1 - 5 = -4[/b]
Точка пересечения: (-4; 1). Подставляем ее в уравнение прямой:
y = kx + 9
1 = -4k + 9
4k = 9 - 1
k = 2
2) Прямая проходит через точку M(2; 5) и имеет с осью Ox угол, равный arctg(3).
Найти на этой прямой точку с абсциссой, равной 2.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b
Угловой коэффициент прямой k равен тангенсу угла наклона к оси Ox.
[b]k = tg a = tg(arctg(3)) = 3[/b]
Подставляем в уравнение координаты точки М:
5 = 3*2 + b
[b]b = 5 - 6 = -1[/b]
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: [b]y = 3x - 1[/b]
Но все это можно было не искать, потому что точка с абсциссой 2 -
это сама точка М(2; 5).
3) Даны уравнения сторон треугольника:
6x - 5y + 8 = 0; 4x - 2y + 2 = 0; x - 3y - 3 = 0
Найти уравнения его медиан.
Найдем сначала координаты вершин треугольника.
Для этого решим 3 системы:
а)
{ 6x - 5y + 8 = 0
{ 4x - 2y + 2 = 0
Решаем подстановкой:
{ y = 2x + 2
{ 6x - 5(2x + 2) + 8 = 0
6x - 10x - 10 + 8 = 0
-4x - 2 = 0
x = -0,5; y = 2x + 2 = 2(-0,5) + 2 = 1
[b]A(-0,5; 1)[/b]
б)
{ 6x - 5y + 8 = 0
{ x + 3y - 3 = 0
Решаем подстановкой:
{ x = 3y + 3
{ 6(3y + 3) - 5y + 8 = 0
18y + 18 - 5y + 8 = 0
13y = -26
y = -2; x = 3y + 3 = 3(-2) + 3 = -3
[b]B(-3; -2)[/b]
в)
{ 4x - 2y + 2 = 0
{ x - 3y - 3 = 0
Решаем подстановкой:
{ y = 2x + 1
x - 3(2x + 1) - 3 = 0
x - 6x - 3 - 3 = 0
5x = -6
x = -6/5 = -1,2; y = 2x + 1 = 2(-1,2) + 1 = -1,4
[b]C(-1,2; -1,4)[/b]
Теперь находим координаты середин сторон.
M1 - середина стороны AB.
M1((-0,5-3)/2; (1-2)/2)
[b]M1(-1,75; -0,5)[/b]
M2 - середина стороны BC.
M2((-3-1,2)/2; -2-1,4)/2)
[b]M2(-2,1; -1,7)[/b]
M3 - середина стороны AC.
M3((-0,5-1,2)/2; (1-1,4)/2)
[b]M3(-0,85; -0,2)[/b]
И, наконец, строим уравнения медиан по двум точкам:
а) Вершина А соединяется с M2 - серединой стороны BC.
A(-0,5; 1); M2(-2,1; -1,7)
(AM2) : (x + 2,1)/(-0,5 + 2,1) = (y + 1,7)/(1 + 1,7)
(x + 2,1)/1,6 = (y + 1,7)/2,7
Умножаем на 100 знаменатели левой и правой части:
(x + 2,1)/160 = (y + 1,7)/270
270(x + 2,1) = 160(y + 1,7)
270x + 567 = 160y + 272
270x - 160y + 295 = 0
Делим на 5:
[b](AM2) : 54x - 32y + 59 = 0[/b]
б) Вершина B соединяется с M3 - серединой стороны AC.
B(-3; -2); M3(-0,85; -0,2)
(BM3) : (x + 3)/(-0,85 + 3) = (y + 2)/(-0,2 + 2)
(x + 3)/2,15 = (y + 2)/1,8
Умножаем на 100 знаменатели левой и правой части:
(x + 3)/215 = (y + 2)/180
Делим на 5 знаменатели левой и правой части:
(x + 3)/43 = (y + 2)/36
36(x + 3) = 43(y + 2)
36x + 108 = 43y + 86
[b](BM3) : 36x - 43y + 22 = 0[/b]
в) Вершина С соединяется с M1 - серединой стороны AB.
C(-1,2; -1,4); M1(-1,75; -0,5)
(CM1) : (x + 1,75)/(-1,2 + 1,75) = (y + 0,5)/(-1,4 + 0,5)
(x + 1,75)/0,55 = (y + 0,5)/(-0,9)
Умножаем на 100 знаменатели левой и правой части:
(x + 1,75)/55 = (y + 0,5)/(-90)
Делим на 5 знаменатели левой и правой части:
(x + 1,75)/11 = (y + 0,5)/(-18)
-18(x + 1,75) = 11(y + 0,5)
-18x - 31,5 = 11y + 5,5
[b](CM1) : 18x + 11y + 37 = 0[/b]