Задача 72590 Геометрия 10класс....
Условие
Решение
AB=BC=CD=AD=4
По теореме Пифагора:
АС^2=AB^2+BC^2
AC^2=4^2+4^2
AC^2=32
AC=sqrt(32)
AC=4sqrt(2)
Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов
∠ ACD=45 °
vector{CA}* vector{CD}=|vector{CA}|*|vector{CD}|* cos∠ ACD=4sqrt(2)*4*cos45=4sqrt(2)*4*(sqrt(2)/2)=16
О т в е т. 16
8. Множество точек, равноудаленных от концов отрезка, это серединный перпендикуляр к отрезку
Находим координаты точки М как середины АВ
М((1+3)/2;(5+1)/2)=(2;3)
Точка M (2;3) - середина AB
Составляем уравнение прямой АВ в виде [m]y=kx+b[/m]
Подставляем координаты точек А и B в уравнение:
A(1;5) ⇒ [m]5=k\cdot 1+b[/m]
B(3;1) ⇒ [m]1=k\cdot 3+b[/m]
Решаем систему уравнений:
[m]\left\{\begin {matrix}5=k\cdot 1+b\\1=k\cdot 3+b\end {matrix}\right.[/m]
находим k
Для этого вычитаем из первого уравнения второе:
[m]5-1=k+b-3k-b[/m]
[m]4=-2k[/m]
[m]k=-2[/m] ⇒ [m]k_{1}=-2[/m]
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
[m]k _{1}\cdot k_{2}=-1[/m]
[m]k_{2}=\frac{1}{2}[/m]
Составляем уравнение прямой, которая перпендикулярна АВ и проходит через точку М
Общий вид уравнений прямых, перпендикулярных АВ:
[m]y=\frac{1}{2}x+b[/m]
Подставляем координаты точки М(2;3) и находим b:
[m]3=\frac{1}{2}\cdot 2+b[/m] ⇒ b=2
[m]y=\frac{1}{2}x+2[/m] - уравнение прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через его середину
Находим точку пересечения этой прямой с осью Ох
Решаем систему уравнений:
[m]\left\{\begin {matrix}y=\frac{1}{2}x+2\\y=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒[b] x=-4[/b]
О т в е т. (-4;0)
