Задача 72545 Решите уравнение ...
Условие
Решение
Можно привести к общему знаменателю и решить квадратное уравнение, но есть способ лучше.
Замена [m]y = \frac{x+3}{x-3}[/m], тогда [m]\frac{x-3}{x+3} = \frac{1}{y}[/m]
y + 1/y = 10/3
3y^2 + 3 = 10y
3y^2 - 10y + 3 = 0
D = 10^2 - 4*3*3 = 100 - 36 = 64 = 8^2
[m]y1 = \frac{x+3}{x-3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}[/m]
3(x + 3) = x - 3
3x + 9 - x = -3
2x = -12
[b]x1 = -6[/b]
[m]y2 = \frac{x+3}{x-3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3[/m]
x + 3 = 3(x - 3)
x + 3 = 3x - 9
12 = 2x
[b]x2 = 6[/b]
б) [m]\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5[/m]
Делается точно также. Замена [m]y = \frac{2x+1}{x}[/m]
Уравнение
y + 4/y = 5
y^2 - 5y + 4 = 0
И дальше решаете.
в) [m]\frac{6}{x^2-1} - \frac{2}{x-1} = 2 - \frac{x+4}{x+1}[/m]
ОДЗ: x^2 - 1 ≠ 0
(x - 1)(x + 1) ≠ 0
x ≠ -1; x ≠ 1
Здесь интереснее, такой заменой не обойдешься.
Придется приводить к общему знаменателю x^2 - 1 = (x-1)(x+1)
[m]\frac{6}{x^2-1} - \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(x^2-1)}{x^2-1} - \frac{(x+4)(x-1)}{(x+1)(x-1)}[/m]
[m]\frac{6 - (2x+2)}{x^2-1} = \frac{2x^2-2 - (x^2+3x-4)}{x^2-1}[/m]
Знаменатели одинаковые, приравниваем числители:
6 - 2x - 2 = 2x^2 - 2 - x^2 - 3x + 4
0 = x^2 - 3x + 2 + 2x - 4
x^2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x1 = -1 - не подходит по ОДЗ.
[b]x2 = 2[/b]
г) [m]\frac{x}{2x-1} + \frac{25}{4x^2-1} = \frac{1}{27} - \frac{13}{1-2x}[/m]
ОДЗ: 4x^2 - 1 ≠ 0
(2x - 1)(2x + 1) ≠ 0
x ≠ 1/2; x ≠ -1/2
У последней дроби поменяем знаки в знаменателе:
[m]\frac{x}{2x-1} + \frac{25}{4x^2-1} = \frac{1}{27} + \frac{13}{2x-1}[/m]
Здесь общий знаменатель 27(4x^2 - 1) = 27(2x - 1)(2x + 1)
[m]\frac{27x(2x+1)}{27(2x-1)(2x+1)} + \frac{25 \cdot 27}{27(4x^2-1)} = \frac{4x^2-1}{27(4x^2-1)} + \frac{13 \cdot 27(2x+1)}{27(2x-1)(2x+1)}[/m]
[m]\frac{54x^2+27x+675}{27(4x^2-1)} = \frac{4x^2-1+702x+351}{27(4x^2-1)}[/m]
Знаменатели одинаковые, приравниваем числители:
54x^2+27x+675 = 4x^2+702x+350
50x^2 - 675x + 325 = 0
Сокращаем на 25:
2x^2 - 27x + 13 = 0
D = 27^2 - 4*2*13 = 729 - 104 = 625 = 25^2
x1 = (27 - 25)/4 = 2/4 = 1/2 - не подходит по ОДЗ
[b]x2 = (27 + 25)/4 = 52/4 = 13[/b]