Задача 72536 ...

647f6510d5cf67332d3ac015

10.09.2023 21:25:01

Решить уравнение, где z=x+yi, ẑ=x-yi.

z^4+4ẑ^2 = 0

626fab9a354ab65fb2f43abb

11.09.2023 00:30:03

★

(x + i*y)^4 + 4(x - i*y)^2 = 0
((x + i*y)^2)^2 + 4(x - i*y)^2 = 0
(x^2 + 2xy*i - y^2)^2 + 4(x^2 - 2xy*i - y^2) = 0
(x^2 - y^2)^2 + 4(x^2 - y^2)*xy*i - 4x^2y^2 + 4x^2 - 8xy*i - 4y^2 = 0
Так как справа 0, то слева и действительная, и мнимая части равны 0.
{ (x^2 - y^2)^2 - 4x^2y^2 + 4x^2 - 4y^2 = 0
{ 4(x^2 - y^2)*xy - 8xy = 0
В 1 раскрываем скобки, а во 2 выносим 4xy за скобки:
{ x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 4x^2y^2 + 4x^2 - 4y^2 = 0
{ 4xy(x^2 - y^2 - 2) = 0
Из 2 уравнения получаем варианты:

1) x1 = y1 = 0, тогда z1 = 0 + i*0 = 0

2) x^2 - y^2 - 2 = 0
y^2 = x^2 - 2, подставляем в 1 уравнение, учитывая, что y^4 = (y^2)^2:
x^4 - 6x^2(x^2 - 2) + (x^2 - 2)^2 + 4x^2 - 4(x^2 - 2) = 0
x^4 - 6x^4 + 12x^2 + x^4 - 4x^2 + 4 + 4x^2 - 4x^2 + 8 = 0
-4x^4 + 8x^2 + 12 = 0
Делим всё на -4 и делаем замену x^2 = t
t^2 - 2t - 3 = 0
(t - 3)(t + 1) = 0
t = x^2 = -1 - не подходит, так как x и y - действительные числа.
t = x^2 = 3; x2 = -sqrt(3); x3 = sqrt(3)
y^2 = x^2 - 2 = 3 - 2 = 1; y2 = -1; y3 = 1

Ответ: z1 = 0; z2 = -sqrt(3) - i; z3 = -sqrt(3) + i; z4 = sqrt(3) - i; z5 = sqrt(3) + i