Задача 72521 Ряды Фурье, вместо N поставить 19,...
Условие
Решение
[m] l=π[/m]
[m]a_{o}=\frac{1}{π} ∫_{-π} ^{π}f(x)dx=\frac{1}{π} ∫_{-π} ^{0}19dx+\frac{1}{π} ∫_{0} ^{π}17dx=\frac{19}{π}(x)|_{-π} ^{0}+\frac{17}{π}(x)|_{0} ^{π}=19+17=36[/m]
[m]a_{n}=\frac{1}{π} ∫_{-π} ^{π}f(x) \cdot cos\frac{nπx}{π}dx=\frac{1}{π}∫_{-π} ^{0}
19\cdot cos nx dx+\frac{1}{π} ∫_{0} ^{π}17\cdot cos nx dx=\frac{19}{π} ∫_{-π} ^{0}cos nx dx+\frac{17}{π} ∫_{-π} ^{0} cos nx dx=[/m]
[m]=\frac{19}{πn}(sinnx)|_{-π} ^{0}+\frac{17}{πn}(sinnx)|_{0} ^{π}=\frac{19}{πn}(sin0 -sin(-πn))+\frac{17}{πn}(sin(πn)-sin0)=0[/m]
[m]b_{n}=\frac{1}{π} ∫_{-π} ^{π}f(x) \cdot sin\frac{nπx}{π}dx=\frac{1}{π} ∫_{-π} ^{0}19\cdot sin nx dx+\frac{1}{π} ∫_{0} ^{π}17\cdot sin nx dx=\frac{19}{π} ∫_{-π} ^{0} sin nx dx+\frac{17}{π} ∫_{-π} ^{0} sin nx dx=[/m]
[m]=\frac{19}{πn}(-cosnx)|_{-π} ^{0}+\frac{17}{πn}(-cosnx)|_{0} ^{π}=\frac{19}{πn}(-cos0+cos(-πn))+\frac{17}{πn}(cos(πn)-cos0)=\frac{19}{πn}(-1+(-1)^{n})+\frac{17}{πn}((-1)^{n}-1)=\frac{36}{πn}((-1)^{n}-1)[/m]
Ряд [m] ∑^{n= ∞} _{n=0}(36+\frac{36}{πn}((-1)^{n}-1)sin nx)[/m]
2)
[m]f(x)=\frac{1}{2}x[/m] задана на [0; 20]
a)
Продолжить функцию на [-20;20] [i] чётным [/i]образом, тогда получим разложение в ряд Фурье по косинусам:
[m]f(x) ∼ \frac{a_{o}}{2}+ ∑_{1}^{ ∞}a_{n} cos\frac{nπx}{l}[/m]
[m]l=20[/m]
[m]f(x) ∼\frac{a_{o}}{2}+ ∑_{1}^{ ∞}a_{n}cos \frac{nπx}{20}[/m]
[m]b_{n}=0[/m]
[m]a_{o}=\frac{2}{20} ∫_{0} ^{20}\frac{1}{2}xdx=\frac{2}{20}\cdot \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2})|_{0} ^{20}=10[/m]
n ≥ 1
[m]a_{n}=\frac{2}{20} ∫_{0} ^{20}\frac{1}{2}x\cdot cos\frac{nπx}{20}dx=[/m]
интегрирование по частям
б)
Продолжить функцию на [-20;20] [i] нечётным [/i]образом, тогда получим разложение в ряд Фурье по синусам:
[m]f(x) ∼ ∑_{1}^{ ∞}b_{n} sin\frac{nπx}{l}[/m]
[m]l=20[/m]
[m]f(x) ∼ ∑_{1}^{ ∞}b_{n} sin\frac{nπx}{20}[/m]
[m]a_{n}=0[/m], n ≥ 0
[m]b_{n}=\frac{2}{20} ∫_{0} ^{20}\frac{1}{2}x\cdot sin\frac{nπx}{20}dx=[/m]
интегрирование по частям
