Задача 72519 решите неравенства ...
Условие
Решение
[m]\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} - 1 > 0[/m]
[m]\frac{(x-1)(x-2)(x-3) - (x+1)(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0[/m]
[m]\frac{(x^2-3x+2)(x-3) - (x^2+3x+2)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0[/m]
[m]\frac{x^3-3x^2+2x-3x^2+9x-6 - (x^3+3x^2+2x+3x^2+9x+6)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0[/m]
[m]\frac{-6x^2+11x-6 - 6x^2-11x-6}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0[/m]
[m]\frac{-12x^2-12}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0[/m]
Сокращаем на -12, при этом знак неравенства меняется.
[m]\frac{x^2+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} < 0[/m]
Так как x^2 + 1 > 0 при любом x, то остаётся знаменатель:
(x+1)(x+2)(x+3) < 0
По методу интервалов:
x ∈ (-oo; -3) U (-2; -1)
2) и 3) решаются точно также.
Нужно объединить всё слева в одну дробь, а справа оставить 0.
2) [m]4 \cdot \frac{x^3+x^2}{x^2-2x+1} ≤ 9 \cdot \frac{x+1}{x^2-2x+1} [/m]
[m]\frac{4x^2(x+1)}{(x-1)^2} - \frac{9(x+1)}{(x-1)^2} ≤ 0[/m]
[m]\frac{(4x^2-9)(x+1)}{(x-1)^2} ≤ 0[/m]
[m]\frac{(2x-3)(2x+3)(x+1)}{(x-1)^2} ≤ 0[/m]
Дальше методом интервалов, учитывая, что x не равен 1.
x ∈ (-oo; -3/2] U [-1; 1) U (1; 3/2]
3) 25x^2 - 3|3 - 5x| < 30x - 9
25x^2 - 30x + 9 - 3|3 - 5x| < 0
Здесь возможны два варианта:
а) 3 - 5x < 0, то есть x > 3/5, тогда |3 - 5x| = 5x - 3
25x^2 - 30x + 9 - 3(5x - 3) < 0
25x^2 - 30x + 9 - 15x + 9 < 0
25x^2 - 45x + 18 < 0
D = (-45)^2 - 4*25*18 = 2025 - 1800 = 225 = 15^2
x1 = (45 - 15)/50 = 30/50 = 3/5
x2 = (45 + 15)/50 = 60/50 = 6/5
x ∈ (3/5; 6/5)
По условию x > 3/5, поэтому
Решение 1: (3/5; 6/5) = (0,6; 1,2)
б) 3 - 5x ≥ 0, то есть x ≤ 3/5, тогда |3 - 5x| = 3 - 5x
25x^2 - 30x + 9 - 3(3 - 5x) < 0
25x^2 - 30x + 9 - 9 + 15x < 0
25x^2 - 15x < 0
5x(5x - 3) < 0
x ∈ (0; 3/5)
По условию x ≤ 3/5, поэтому:
Решение 2: (0; 3/5) = (0; 0,6)
Ответ: (0; 0,6) U (0,6; 1,2)