Задача 72516 Вычислите все значения корня и...
Условие
Решение
-8 - 8i*sqrt(3) = 16*(-1/2 - i*sqrt(3)/2) = 16(cos(4π/3) + i*sin(4π/3)
Теперь, по формуле Муавра для k = 0, 1, 2, 3 будет:
[m]\sqrt[4]{16(cos(\frac{4π}{3}) + i*sin(\frac{4π}{3})} = \sqrt[4]{16} \cdot (cos(\frac{4π/3+2πk}{4}) + i \cdot sin(\frac{4π/3+2πk}{4})) =[/m]
[m] =2 \cdot (cos(\frac{4π+6πk}{12}) + i \cdot sin(\frac{4π+6πk}{12}))[/m]
При k = 0 будет:
[m]2 \cdot (cos(\frac{4π}{12}) + i \cdot sin(\frac{4π}{12})) = 2 \cdot (cos(\frac{π}{3}) + i \cdot sin(\frac{π}{3})) = 2 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \sqrt{3}[/m]
При k = 1 будет:
[m]2 \cdot (cos(\frac{10π}{12}) + i \cdot sin(\frac{10π}{12})) = 2 \cdot (cos(\frac{5π}{6}) + i \cdot sin(\frac{5π}{6})) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = - \sqrt{3} + 1[/m]
При k = 2 будет:
[m]2 \cdot (cos(\frac{16π}{12}) + i \cdot sin(\frac{16π}{12})) = 2 \cdot (cos(\frac{4π}{3}) + i \cdot sin(\frac{4π}{3})) = 2 \cdot (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 - \sqrt{3}[/m]
При k = 3 будет:
[m]2 \cdot (cos(\frac{22π}{12}) + i \cdot sin(\frac{22π}{12})) = 2 \cdot (cos(\frac{11π}{6}) + i \cdot sin(\frac{11π}{6})) = 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \sqrt{3} - 1[/m]