Задача 72507 Доказать, что А\(В U C)= (A\B) U (A\C)...
Условие
А\(В U C)= (A\B) U (A\C)
Решение
Для доказательства данного равенства, давайте воспользуемся определением операций над множествами.
Обозначим:
- A какое-то множество,
- B и C — подмножества множества A.
Тогда, операция [b]A ∪ B (объединение)[/b] означает "включить в множество A все элементы из B", а операция [b]A \ B (разность)[/b] означает "исключить из множества A все элементы, принадлежащие B".
1) Для начала, разберемся с левой частью равенства:
A \ (B ∪ C)
Это означает, что мы берем все элементы из множества A и исключаем из них те, которые принадлежат множеству B ∪ C.
B ∪ C — это объединение, то есть все элементы, которые есть в B или C.
Таким образом, исключаем из A все элементы, которые есть в B или C.
2) Теперь рассмотрим правую часть равенства:
(A \ B) ∪ (A \ C)
Это означает, что мы берем элементы, которые есть в A и не принадлежат B, и объединяем их с элементами, которые есть в A и не принадлежат C.
Давайте докажем равенство. Для этого проверим, что любой элемент, который есть в левой части, также есть и в правой, и наоборот.
1. Пусть x принадлежит левой части: x ∈ A \ (B ∪ С). Это значит, что x принадлежит множеству A, но не принадлежит B и не принадлежит C. Следовательно, x принадлежит A и не принадлежит B, то есть x ∈ A \ B.
Или x принадлежит A и не принадлежит C, то есть x ∈ A \ C. Значит, x принадлежит правой части: x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C).
2. Пусть x принадлежит правой части: x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C).
Это значит, что x принадлежит A \ B или x принадлежит A \ C.
Если x принадлежит A \ B, то x принадлежит A и не принадлежит B.
Если x принадлежит A \ C , то x принадлежит A и не принадлежит C.
Это означает, что x не принадлежит B ∪ C.
Таким образом, x принадлежит A и не принадлежит B ∪ C, то есть x ∈ A \ (B ∪ C).
Таким образом, левая и правая части равенства совпадают, что и требовалось доказать.