Задача 72490 решите неравенства...
Условие
Решение
[m]\frac{x^2-5x+3}{(x-4} +\frac{5x-27}{x-6}≤ x+4[/m]
[m]\frac{x^2-5x+3}{(x-4} +\frac{5x-27}{x-6}-( x+4) ≤0 [/m]
Приводим к общему знаменателю:
[m]\frac{(x^2-5x+3)\cdot (x-6)+(5x-27)\cdot (x-4)-(x+4)\cdot (x-4)\cdot (x-6)}{(x-4)(x-6)} ≤ 0[/m]
Упрощаем:
[m]\frac{(x^3-5x^2+3x-6x^2+30x-18+5x^2-27x-20x+108-x^3+16x+6x^2-96}{(x-4)(x-6)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{2x-6}{(x-4)(x-6)} ≤ 0[/m]
Решаем методом интервалов:
_-__ [3] _+___ (4) ___-___ (6) ___+___
О т в е т. (- ∞ ;-3] U(4;6)
2.
Замена переменной:
x+2=t
[m]\frac{3}{2-\sqrt{5}t}+\frac{\sqrt{5}t-1}{\sqrt{5}t-3}-3 ≤ 0[/m]
Приводим к общему знаменателю:
[m]\frac{3\cdot (\sqrt{5}t-3)+(\sqrt{5}t-3)\cdot (2-\sqrt{5}t)-3\cdot (2-\sqrt{5})\cdot (\sqrt{5}t-3)}{(2-\sqrt{5}t)(\sqrt{5}t-3)} ≤ 0[/m]
Упрощаем:
[m]\frac{3\cdot \sqrt{5}t-9+2\sqrt{5}t-2-5t^2+\sqrt{5}t-6\sqrt{5}t+15t+18-9\sqrt{5}}{(2-\sqrt{5}t)(\sqrt{5}t-3)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{10t^2-9\sqrt{5}t+7}{(2-\sqrt{5}t)(\sqrt{5}t-3)} ≤ 0[/m]
Решаем методом интервалов
Находим нули числителя:
[m]10t^2-9\sqrt{5}t+7= 0[/m]
D=(-9sqrt(5))^2-4*10*7=405-280=225
[m]t_{1}=\frac{9\sqrt{5}-15}{20}[/m]; [m]t_{2}=\frac{9\sqrt{5}+15}{20}[/m]
Находим нули знаменателя:
[m] 2-\sqrt{5}t=0[/m] ⇒ [m] t=\frac{2}{\sqrt{5}}[/m] ⇒ [m] t_{3}=\frac{8\sqrt{5}}{20}[/m]
[m] \sqrt{5}t-3=0[/m] ⇒ [m] t=\frac{3}{\sqrt{5}}[/m] ⇒ [m] t_{4}=\frac{12\sqrt{5}}{20}[/m]
____-___ [t_(1)] ____+____ (t_(3)) ____-__ (t_(4))__+___ [t_(2)] ___-____
t ∈ (- ∞ ;[m]\frac{9\sqrt{5}-15}{20}[/m]] U ([m]\frac{8\sqrt{5}}{20};\frac{12\sqrt{5}}{20}[/m] )U[[m]\frac{9\sqrt{5}+15}{20};+ ∞ [/m])
x+2 ∈ (- ∞ ;[m]\frac{9\sqrt{5}-15}{20}[/m]] U ([m]\frac{8\sqrt{5}}{20};\frac{12\sqrt{5}}{20}[/m] )U[[m]\frac{9\sqrt{5}+15}{20};+ ∞ [/m])
x∈ (- ∞ ;[m]\frac{9\sqrt{5}-15}{20}-2[/m]] U ([m]\frac{8\sqrt{5}}{20}-2;\frac{12\sqrt{5}}{20}-2[/m] )U[[m]\frac{9\sqrt{5}+15}{20}-2;+ ∞ [/m])
О т в е т. (- ∞ ;[m]\frac{9\sqrt{5}-55}{20}[/m]] U ([m]\frac{8\sqrt{5}-40}{20};\frac{12\sqrt{5}-40}{20}[/m] )U[[m]\frac{9\sqrt{5}-25}{20};+ ∞ [/m])
3.
[m]\frac{x^3+6x^2-32}{x^2+x-12} ≥x-2[/m]
[m]\frac{x^3+6x^2-32-(x-2)(x^2+x-12)}{x^2+x-12} ≥0[/m]
[m]\frac{x^3+6x^2-32-x^3-x^2+12x+2x^2+2x-24)}{x^2+x-12} ≥0[/m]
[m]\frac{7x^2+14x-56}{x^2+x-12} ≥0[/m]
__+____ (-4) __+_____ [2]____-____(3)______+_____
О т в е т. (- ∞ ;-4)U(-4;2] U(3;+ ∞ )