Задача 72485 Найти производную функции и градиент...
Условие
Пример выполнения прикреплён.
Решение
Производная по направлению:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }=\frac{ ∂u }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂u }{ ∂y }cos β+ +\frac{ ∂u }{ ∂z }cos γ [/m]
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }=(e^{x+xy+xyz})`_{x}=e^{x+xy+xyz}\cdot (x+xy+xyz)`_{x}=e^{x+xy+xyz}\cdot (1+y+yz)[/m]
[m]\frac{ ∂u}{ ∂y }=(e^{x+xy+xyz})_{y}=e^{x+xy+xyz}\cdot (x+xy+xyz)`_{x}=e^{x+xy+xyz}\cdot (x+xz)[/m]
[m]\frac{ ∂u}{ ∂z }=(e^{x+xy+xyz})_{z}=e^{x+xy+xyz}\cdot (x+xy+xyz)`_{z}=e^{x+xy+xyz}\cdot (xy)[/m]
Находим частные производные в точке M(0;1;0):
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }|_{M}=e^{0+0\cdot 1+0\cdot 1\cdot 0}\cdot (1+1+1\cdot 0)=2[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }|_{M}=e^{0+0\cdot 1+0\cdot 1\cdot 0}\cdot (0+0\cdot 0)=0[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂z }|_{M}=e^{0+0\cdot 1+0\cdot 1\cdot 0}\cdot (0\cdot 1)=0[/m]
Направление задано вектором
[m]\vec{l}=(-\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})[/m]
Найдем длину этого вектора:
[m]|\vec{l}|=\sqrt{(-\frac{1}{3})^2+(\frac{2}{3})^2+(\frac{2}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}=1[/m]
Находим направляющие косинусы этого вектора:
[m]cos α =\frac{-\frac{1}{3}}{1}=-\frac{1}{3}[/m];
[m]cos β =\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}[/m];
[m]cos γ =\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}[/m].
Производная по направлению в точке M
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }=2\cdot ( -\frac{1}{3})+0\cdot \frac{2}{3} +0\cdot \frac{2}{3}=-\frac{2}{3} [/m]
2.
Градиент:
[m]grad u=\frac{ ∂u }{ ∂x }\vec{i}+\frac{ ∂u }{ ∂y }\vec{j}+\frac{ ∂u }{ ∂z }\vec{k}[/m]
( производные в точке вычислены в пункте а)
[m]grad u(M)=2\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}[/m]
[m]grad u(M)=(2:0;0)[/m]