Задача 72471 Окружность с центром O вписана в угол,...

64f49010bad7a82131d45fd0

05.09.2023 19:14:37

Окружность с центром O вписана в угол, равный 60 градусам. Окружность большего радиуса с центром O1 также вписана в этот угол и проходит через точку O.
а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если радиус первой окружности равен 2sqrt(15)
Распишите подробно!

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.09.2023 08:27:24

★

AO- биссектриса угла А ⇒ ∠ OAВ= ∠ OAС=[b]30 °[/b]

Из равенства прямоугольных треугольников АОВ и АОС
АВ=АС
Из равенства прямоугольных треугольников АО_(1)В_(1) и АО_(1)С_(1)
АВ_(1)=АС_(1)




a)
Обозначим:
ОВ=ОС=r

O_(1)B_(1)=O_(1)C_(1)=OO_(1)=R

Из Δ AOC

AO=2r ( катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы)

Из Δ AO_(1)C_(1)

AO_(1)=2R



AO_(1)=AO+OO_(1)

2R=2r+R

[b]R=2r[/b]


б)
r=2sqrt(15)



Пусть OF=x

По свойству пересекающихся хорд

PF*FT=MF*FK ( для первой окружности)

OF*FN=MF*FK ( для второй окружности)

⇒

PF*FT=OF*FN

(r+x)*(r-x)=x*(2R-x)

R=2r
(r+x)*(r-x)=x*(4r-x) ⇒ x=r/4

[b]MF=FK[/b] ( Δ MOO_(1)=Δ KOO_(1) по трем сторонам ⇒ ∠ MOO_(1)= ∠ KOO_(1) ⇒ Δ ∠ MOF= Δ KOF)
кроме этого получим, что MK ⊥ AO_(1)


PF*FT=MF^2
(r+(r/4))*(r-(r/4))=MF^2

MF^2=15r^2/16

MF^2=15(2sqrt(15))^2/16

MF^2=225/4

MF=15/2

MK=2MF=[b]15[/b]